Kompleksni brojevi

Uvod

Zamislite da rešavate jednačinu $x^2 + 1 = 0$. U skupu realnih brojeva ova jednačina nema rešenje — ne postoji realan broj čiji je kvadrat negativan. Matematičari su rešili ovaj problem uvođenjem novog broja: imaginarne jedinice.

Definišemo $i$ kao broj za koji važi:

$i^2 = -1$

Na ovaj način proširujemo skup realnih brojeva do skupa kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$, koji je dovoljno bogat da ima rešenja za svaku algebarsku jednačinu.

---

Sadržaj

1. Algebarski oblik kompleksnog broja
2. Realni i imaginarni deo
3. Stepenovanje imaginarne jedinice
4. Osnovne operacije
   • Sabiranje i oduzimanje
   • Množenje
   • Deljenje — racionalisanje imenioca
5. Konjugovano kompleksni broj
6. Modul kompleksnog broja
7. Stepenovanje kompleksnih binoma
8. Jednačine sa kompleksnim brojevima
9. Čisto imaginarni i realni kompleksni brojevi
10. Dokazivanje identiteta

---

1. Algebarski oblik

Svaki kompleksni broj možemo zapisati u algebarskom obliku:

$z = a + bi$

gde su $a, b \in \mathbb{R}$, a $i$ je imaginarna jedinica ($i^2 = -1$).

Primeri:

• $z = 3 + 2i$
• $z = -1 - 4i$
• $z = 5$ (realan broj, $b = 0$)
• $z = 2i$ (čisto imaginaran, $a = 0$)

---

2. Realni i imaginarni deo

Za kompleksni broj $z = a + bi$ definišemo:

$\text{Re}(z) = a \quad \text{(realni deo)}$ $\text{Im}(z) = b \quad \text{(imaginarni deo)}$

Važno: Imaginarni deo je realan broj $b$, a ne $bi$. Na primer, za $z = 3 + 2i$ je $\text{Im}(z) = 2$, ne $2i$.

Dva kompleksna broja $z_1 = a + bi$ i $z_2 = c + di$ su jednaka ako i samo ako važi: $a = c \quad \text{i} \quad b = d$

Ovo je ključna tehnika koja se koristi u gotovo svakom zadatku — izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo sisteme jednačina.

---

3. Stepenovanje imaginarne jedinice

Stepeni imaginarne jedinice se periodično ponavljaju sa periodom 4:

Stepen	Vrednost
$i^1$	$i$
$i^2$	$-1$
$i^3$	$-i$
$i^4$	$1$
$i^5$	$i$
$\vdots$	$\vdots$

Pravilo: Za bilo koji celi broj $n$, delimo $n$ sa $4$ i gledamo ostatak $r$:

$i^n = i^r, \quad r = n \bmod 4$

Trik za negativne stepene: Koristimo $i^{-n} = \dfrac{1}{i^n}$, pa se racionalisanjem dobija $\dfrac{1}{i} = -i$.

Primer: Izračunati $i^{125} + (-i)^{60} + i^{83}$

• $125 = 4 \cdot 31 + 1$, pa $i^{125} = i^1 = i$
• $(-i)^{60} = i^{60}$ (jer je eksponent paran), $60 = 4 \cdot 15$, pa $i^{60} = 1$
• $83 = 4 \cdot 20 + 3$, pa $i^{83} = i^3 = -i$

$i^{125} + (-i)^{60} + i^{83} = i + 1 + (-i) = \boxed{1}$

---

4. Osnovne operacije

4.1 Sabiranje i oduzimanje

Sabiraju se (oduzimaju) realni sa realnim, imaginarni sa imaginarnim:

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Primer: $(2 + 5i) + (1 - 7i) = 3 - 2i$

4.2 Množenje

Koristi se distributivni zakon, uz zamenu $i^2 = -1$:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Primer: $(2 + 5i)(3 - 4i)$

$= 6 - 8i + 15i - 20i^2 = 6 + 7i + 20 = \boxed{26 + 7i}$

Posebno korisna formula — razlika kvadrata:

$(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$

Ovo uvek daje realan broj, što se intenzivno koristi pri deljenju.

4.3 Deljenje — racionalisanje imenioca

Da bismo podelili dva kompleksna broja, množimo i brojilac i imenilac konjugatom imenioca:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}$

Zašto ovo funkcioniše? Imenilac $z_2 \cdot \overline{z_2} = a^2 + b^2$ je uvek realan broj, pa možemo slobodno deliti.

Primer: Izračunati $\dfrac{17 + 19i}{7 - i}$

$\frac{17 + 19i}{7 - i} \cdot \frac{7 + i}{7 + i} = \frac{119 + 17i + 133i + 19i^2}{49 - i^2} = \frac{119 + 150i - 19}{49 + 1} = \frac{100 + 150i}{50} = \boxed{2 + 3i}$

---

5. Konjugovano kompleksni broj

Za $z = a + bi$, konjugovano kompleksni broj je:

$\overline{z} = a - bi$

Geometrijski, $\overline{z}$ je refleksija tačke $z$ u odnosu na realnu osu.

Osobine konjugovanja

Sve ove osobine mogu se dokazati pisanjem $z = a + bi$:

$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

$\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$

$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

$\overline{(\overline{z})} = z, \qquad \overline{(-z)} = -\overline{z}$

Napomena: Realni broj je jednak svom konjugatu: $z = \overline{z} \iff z \in \mathbb{R}$. To se dokazuje tako što iz $a + bi = a - bi$ sledi $b = 0$.

Korisne veze

$z + \overline{z} = 2\,\text{Re}(z) \in \mathbb{R}$ $z - \overline{z} = 2i\,\text{Im}(z)$ $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 \in \mathbb{R}$

---

6. Modul kompleksnog broja

Modul (apsolutna vrednost) kompleksnog broja $z = a + bi$ je:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Geometrijski, $|z|$ je rastojanje tačke $z$ od koordinatnog početka.

Osobine modula

$|z|^2 = z \cdot \overline{z}$

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$|z^n| = |z|^n$

Prečica pri računanju modula složenih izraza: Umesto da sredimo ceo izraz pa onda računamo modul, često je lakše koristiti osobine modula direktno. Na primer: $\left|\dfrac{(2-i)(1+i)}{3-i}\right| = \dfrac{|2-i| \cdot |1+i|}{|3-i|}$

Primeri:

$|2 - i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|3 + 2\sqrt{2}i| = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17}$

$|2\sqrt{6} + 5i| = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$

---

7. Stepenovanje kompleksnih binoma

Ovo je jedna od najvažnijih tehnika. Umesto direktnog stepenovanja, uvek tražimo prečicu.

Osnovna tehnika: kvadriranje kao prvi korak

Za binome oblika $(1 \pm i)^n$ i $\left(\dfrac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\right)^n$ uvek prvo kvadriramo:

$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$

$(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$

$\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(1+i)^2}{2} = \frac{2i}{2} = i$

$\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^2 = -i$

Zlatno pravilo: Visoki stepen uvek razbijaj na stepen kvadrata. Umesto $(1+i)^{100}$, piši $((1+i)^2)^{50} = (2i)^{50}$.

Primer: Dokazati da je $(1-i)^{100} = -2^{50}$

$\textbf{Korak 1: } (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$

$\textbf{Korak 2: } (1-i)^{100} = \left((1-i)^2\right)^{50} = (-2i)^{50}$

$\textbf{Korak 3: } (-2i)^{50} = (-2)^{50} \cdot i^{50}$

$\textbf{Korak 4: } (-2)^{50} = 2^{50} \text{ (paran eksponent)}$

$\textbf{Korak 5: } 50 = 4 \cdot 12 + 2, \text{ pa } i^{50} = i^2 = -1$

$\textbf{Rezultat: } (1-i)^{100} = 2^{50} \cdot (-1) = \boxed{-2^{50}} \checkmark$

Stepeni koji se pojavljuju u razlomcima

Primer: Izračunati $\dfrac{(1+i)^{100}}{(1-i)^{500}}$

Transformišemo zasebno brojilac i imenilac:

$\text{Brojilac: } (1+i)^{100} = (2i)^{50} = 2^{50} \cdot i^{50}$

$\text{Imenilac: } (1-i)^{500} = (-2i)^{250} = 2^{250} \cdot i^{250}$

Deljenjem:

$\frac{2^{50} \cdot i^{50}}{2^{250} \cdot i^{250}} = 2^{-200} \cdot i^{-200} = \frac{1}{2^{200}} \cdot i^{-200}$

Naizgled komplikovano? Ponekad je broj zadatka drugačiji — uvek pažljivo prepisuj eksponente!

Para konjugovanih sabiraka

Kada imamo zbir konjugovanih stepena, imaginarni delovi se uvek ponište:

$z^n + \overline{z}^n \in \mathbb{R}$

Primer: $I = \left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{3000} + \left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)^{3000}$

Prepoznajemo da je $z_1 = \cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}$, pa po Moavrovoj formuli:

$z_1^{3000} = \cos(1000\pi) + i\sin(1000\pi) = 1$

Analogno $z_2^{3000} = 1$, pa je $I = 1 + 1 = \boxed{2}$.

---

8. Jednačine sa kompleksnim brojevima

Tip 1: Nalaženje realnih $x$ i $y$

Kada jednačina sadrži nepoznate realne brojeve $x$ i $y$, izjednačavamo realne i imaginarne delove i dobijamo sistem.

Primer: Naći realne $x$ i $y$ ako je $(2 + 3i)x + (3 + 2i)y = 1$

$\text{Leva strana: } (2x + 3y) + (3x + 2y)i = 1 + 0i$

$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 2y = 0 \end{cases}$

Iz druge jednačine: $x = -\dfrac{2}{3}y$. Zamenom u prvu:

$-\frac{4}{3}y + 3y = 1 \implies \frac{5}{3}y = 1 \implies y = \frac{3}{5}, \quad x = -\frac{2}{5}$

Tip 2: Jednačine sa $\overline{z}$

Primer: Naći $z$ ako je $z + 2\overline{z} = 3 + 2i$

Neka je $z = x + iy$, pa $\overline{z} = x - iy$:

$(x + iy) + 2(x - iy) = 3 + 2i$

$3x - iy = 3 + 2i \implies \begin{cases} 3x = 3 \\ -y = 2 \end{cases} \implies z = 1 - 2i$

Tip 3: Jednačine sa $|z|$

Primer: Naći $z$ ako je $|z| - z = 1 + 2i$

Neka je $z = x + iy$:

$\sqrt{x^2 + y^2} - (x + iy) = 1 + 2i$

$\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2} - x = 1 \\ -y = 2 \end{cases}$

Iz druge jednačine $y = -2$. Zamenom:

$\sqrt{x^2 + 4} = x + 1 \implies x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1 \implies x = \frac{3}{2}$

$z = \frac{3}{2} - 2i$

Upozorenje: Kada kvadriramo jednačinu sa korenom, moramo proveriti da je desna strana nenegativna. Ovde $x + 1 \geq 0$ mora biti zadovoljeno.

Tip 4: Sistemi sa kompleksnim nepoznatim

Primer: $\begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i \end{cases}$

Iz prve: $z_1 = 1 + i - 2z_2$. Zamenom u drugu:

$3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i$ $3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i$ $z_2(i - 6) = -1 - 6i$ $z_2 = \frac{-1-6i}{i-6} = \frac{1+6i}{6-i} \cdot \frac{6+i}{6+i} = \frac{6 + i + 36i - 6}{37} = \frac{37i}{37} = i$

$z_1 = 1 + i - 2i = 1 - i$

---

9. Čisto imaginarni i realni kompleksni brojevi

Kada je $z$ realan?

$z \in \mathbb{R} \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z = \overline{z}$

Kada je $z$ čisto imaginaran?

$z \text{ je čisto imaginaran} \iff \text{Re}(z) = 0 \;\text{ i }\; \text{Im}(z) \neq 0$

Primer: Naći realne $x$ za koje je $(x - 2 - i)^2$ čisto imaginaran.

Razvijamo: $((x-2) - i)^2 = (x-2)^2 - 2(x-2)i + i^2$

$= \underbrace{(x-2)^2 - 1}_{\text{Re}} + \underbrace{(-2(x-2))}_{\text{Im}} \cdot i$

Uslov: $\text{Re} = 0$ i $\text{Im} \neq 0$:

$(x-2)^2 = 1 \implies x = 1 \text{ ili } x = 3$

Proveravamo: za oba, $\text{Im} \neq 0$. Rešenje: $x \in \{1, 3\}$.

---

10. Dokazivanje identiteta

Ovi zadaci zahtevaju strpljenje i sistematičnost. Evo opšte strategije:

1. Ako se traži jednakost, razvijaj levu stranu dok ne dobiješ desnu.
2. Ako dokazuješ osobinu za svako $z$, uvedi $z = a + bi$ i računaj direktno.
3. Koristiti osobine modula i konjugata da skratiš put.

Primer: Dokazati $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$

Neka je $z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$:

$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i \quad \ldots (1)$

$\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (ad + bc)i \quad \ldots (2)$

Pošto su $(1)$ i $(2)$ jednaki, tvrdnja je dokazana. $\blacksquare$

---

Rezime najvažnijih formula

Formula	Napomena
$i^2 = -1$	Definicija
$i^n = i^{n \bmod 4}$	Periodičnost stepena
$(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$	Razlika kvadrata
$\dfrac{1}{a+bi} = \dfrac{a-bi}{a^2+b^2}$	Racionalisanje
$(1+i)^2 = 2i$	Česta prečica
$(1-i)^2 = -2i$	Česta prečica
$\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}$	Definicija modula
$z \cdot \overline{z} = \|z\|^2$	Ključna veza
$\|z_1 z_2\| = \|z_1\|\cdot\|z_2\|$	Osobina modula

Opšti savet: U svakom zadatku prvo identifikuj tip. Da li trebaš da računaš stepen, da deliš, da rešiš jednačinu, ili da dokažeš identitet? Zatim primeni odgovarajuću tehniku. Kompleksni brojevi izgledaju zastrašujuće, ali svode se na mali broj tricova koji se uvek ponavljaju.