Vrednost izraza sa stepenima 3000 i korenom iz 3

Prvo ćemo kompleksne brojeve unutar zagrada zapisati u trigonometrijskom obliku. Neka je $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Određujemo moduo i argument.

|z_1| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1, \quad \arg(z_1) = \frac{\pi}{3}

Zapisujemo $z_1$ i njegov konjugovan broj $z_2 = \bar{z_1}$ u trigonometrijskom obliku:

z_1 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}, \quad z_2 = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)

Primenjujemo Moavrovu formulu $z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$ za stepenovanje kompleksnog broja na oba sabirka za $n = 3000 .$

z_1^{3000} = \cos\left(3000 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(3000 \cdot \frac{\pi}{3}\right)

Sređujemo argumente unutar funkcija sinus i kosinus:

3000 \cdot \frac{\pi}{3} = 1000\pi

Računamo vrednosti za prvi sabirak, koristeći činjenicu da je $1000\pi$ paran umnožak broja $\pi :$

z_1^{3000} = \cos(1000\pi) + i\sin(1000\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1

Slično računamo i za drugi sabirak:

z_2^{3000} = \cos(-1000\pi) + i\sin(-1000\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1

Sabiranjem dobijenih rezultata dobijamo konačnu vrednost izraza:

I = 1 + 1 = 2

Započni učenje

Online časovi

71.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci