1237.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza:

(1+i2)1000+(1−i2)1000\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^{1000} + \left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^{1000}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojednostaviti izraz u zagradi tako što ćemo ga kvadrirati. Primetimo da je (1±i2)1000=[(1±i2)2]500. \left(\frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\right)^{1000} = \left[\left(\frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\right)^2\right]^{500} .

Računamo kvadrat prvog kompleksnog broja:

(1+i2)2=1+2i+i22=1+2i−12=2i2=i\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i

Zatim računamo kvadrat drugog kompleksnog broja:

(1−i2)2=1−2i+i22=1−2i−12=−2i2=−i\left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1 - 2i + i^2}{2} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

i500+(−i)500i^{500} + (-i)^{500}

Pošto je eksponent 500 paran broj, imamo da je (−i)500=i500. (-i)^{500} = i^{500} . Izraz postaje:

i500+i500=2i500i^{500} + i^{500} = 2i^{500}

Računamo vrednost i500. i^{500} . Kako je 500 500 deljivo sa 4 bez ostatka (500=4⋅125 500 = 4 \cdot 125 ), važi:

i500=(i4)125=1125=1i^{500} = (i^4)^{125} = 1^{125} = 1

Konačno rešenje je:

2⋅1=22 \cdot 1 = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti