Vrednost izraza sa stepenom 1000 i korenom iz 2

Prvo ćemo pojednostaviti izraz u zagradi tako što ćemo ga kvadrirati. Primetimo da je $\left(\frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\right)^{1000} = \left[\left(\frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\right)^2\right]^{500} .$

Računamo kvadrat prvog kompleksnog broja:

\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i

Zatim računamo kvadrat drugog kompleksnog broja:

\left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1 - 2i + i^2}{2} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

i^{500} + (-i)^{500}

Pošto je eksponent 500 paran broj, imamo da je $(-i)^{500} = i^{500} .$ Izraz postaje:

i^{500} + i^{500} = 2i^{500}

Računamo vrednost $i^{500} .$ Kako je $500$ deljivo sa 4 bez ostatka ( $500 = 4 \cdot 125$ ), važi:

i^{500} = (i^4)^{125} = 1^{125} = 1

Konačno rešenje je:

2 \cdot 1 = 2

Započni učenje

Online časovi

71.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci