1439. Kompleksni brojevi

Uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja $z = x + iy ,$ gde su $x, y \in \mathbb{R} .$ Zamenjujemo ovaj izraz u prvu jednačinu sistema.

|x + iy + i| = |x + iy + 2|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula, a zatim primenjujemo definiciju modula $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .$

|x + i(y + 1)| = |(x + 2) + iy| \implies \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}

Kvadriramo obe strane jednačine i razvijamo kvadrate binoma.

x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2

Sređujemo prvu jednačinu tako što poništavamo zajedničke članove $x^2$ i $y^2 .$

2y + 1 = 4x + 4 \implies 4x - 2y = -3

Sada zamenjujemo $z = x + iy$ u drugu jednačinu sistema i primenjujemo isti postupak.

|x + iy - 2| = |x + iy + 2i| \implies |(x - 2) + iy| = |x + i(y + 2)|

Nakon primene modula i kvadriranja, dobijamo drugu linearnu jednačinu po $x$ i $y .$

(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4

Sređivanjem druge jednačine dobijamo:

-4x = 4y \implies x = -y

Sada rešavamo sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate zamenom $x = -y$ u prvu sređenu jednačinu.

4(-y) - 2y = -3 \implies -6y = -3 \implies y = \frac{1}{2}

Računamo vrednost za $x$ koristeći vezu $x = -y .$

x = -\frac{1}{2}

Konačno, formiramo kompleksan broj $z$ koristeći dobijene vrednosti za realni i imaginarni deo.

z = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

1439.Kompleksni brojevi