1407.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti kompleksan broj z=x+iy z = x + iy ako je on rešenje jednačine:

∣z+1∣+z+i=0|z + 1| + z + i = 0
REŠENJE ZADATKA

Zamenjujemo kompleksan broj z z njegovim algebarskim oblikom z=x+iy z = x + iy u datu jednačinu. Pritom koristimo definiciju modula kompleksnog broja ∣a+bi∣=a2+b2. |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .

∣x+iy+1∣+x+iy+i=0|x + iy + 1| + x + iy + i = 0

Grupišemo realni i imaginarni deo unutar modula i u ostatku jednačine.

∣(x+1)+iy∣+x+i(y+1)=0|(x + 1) + iy| + x + i(y + 1) = 0

Primenjujemo formulu za modul na prvi sabirak.

(x+1)2+y2+x+i(y+1)=0\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + x + i(y + 1) = 0

Da bi kompleksan broj bio jednak nuli, i njegov realni i njegov imaginarni deo moraju biti jednaki nuli. Formiramo sistem jednačina:

{(x+1)2+y2+x=0y+1=0\begin{cases} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + x = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases}

Iz druge jednačine direktno računamo vrednost za y. y .

y=−1y = -1

Zamenjujemo y=−1 y = -1 u prvu jednačinu i rešavamo po x. x .

(x+1)2+(−1)2=−x\sqrt{(x + 1)^2 + (-1)^2} = -x

Kvadriramo jednačinu uz uslov da je desna strana nenegativna (−x≥0⇒x≤0 -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 ).

(x+1)2+1=(−x)2(x + 1)^2 + 1 = (-x)^2

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo jednačinu.

x2+2x+1+1=x2  ⟹  2x+2=0x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 \implies 2x + 2 = 0

Računamo vrednost za x. x .

2x=−2  ⟹  x=−12x = -2 \implies x = -1

Pošto je uslov x≤0 x \le 0 ispunjen, dobijene vrednosti formiraju konačno rešenje za z. z .

z=−1−iz = -1 - i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti