Odredi z iz jednačine |z + 1| + z + i = 0

Zamenjujemo kompleksan broj $z$ njegovim algebarskim oblikom $z = x + iy$ u datu jednačinu. Pritom koristimo definiciju modula kompleksnog broja $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .$

|x + iy + 1| + x + iy + i = 0

Grupišemo realni i imaginarni deo unutar modula i u ostatku jednačine.

|(x + 1) + iy| + x + i(y + 1) = 0

Primenjujemo formulu za modul na prvi sabirak.

\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + x + i(y + 1) = 0

Da bi kompleksan broj bio jednak nuli, i njegov realni i njegov imaginarni deo moraju biti jednaki nuli. Formiramo sistem jednačina:

\begin{cases} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + x = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases}

Iz druge jednačine direktno računamo vrednost za $y .$

y = -1

Zamenjujemo $y = -1$ u prvu jednačinu i rešavamo po $x .$

\sqrt{(x + 1)^2 + (-1)^2} = -x

Kvadriramo jednačinu uz uslov da je desna strana nenegativna ( $-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$ ).

(x + 1)^2 + 1 = (-x)^2

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo jednačinu.

x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 \implies 2x + 2 = 0

Računamo vrednost za $x .$

2x = -2 \implies x = -1

Pošto je uslov $x \le 0$ ispunjen, dobijene vrednosti formiraju konačno rešenje za $z .$

z = -1 - i

Započni učenje

Privatni časovi

94.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci