1406. Kompleksni brojevi

Zamenjujemo kompleksan broj $z$ njegovim algebarskim oblikom $x + iy$ i njegovu modulu $|z|$ odgovarajućim izrazom.

z = x + iy, \quad |z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Uvrštavamo ove izraze u polaznu jednačinu.

\sqrt{x^2 + y^2} - (x + iy) = 1 + 2i

Sređujemo jednačinu tako što razdvajamo realni i imaginarni deo na levoj strani.

(\sqrt{x^2 + y^2} - x) - iy = 1 + 2i

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni delovi i posebno imaginarni delovi. Formiramo sistem jednačina:

\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - x = 1 \\ -y = 2 \end{cases}

Iz druge jednačine direktno nalazimo vrednost za $y .$

y = -2

Zamenjujemo $y = -2$ u prvu jednačinu i rešavamo po $x .$

\sqrt{x^2 + (-2)^2} - x = 1 \implies \sqrt{x^2 + 4} = x + 1

Kvadriramo jednačinu uz uslov da je desna strana ne-negativna ( $x + 1 \ge 0 ,$ odnosno $x \ge -1$ ).

x^2 + 4 = (x + 1)^2 \\ x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1

Sređivanjem dobijene linearne jednačine nalazimo vrednost za $x .$

4 = 2x + 1 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}

Kako je $x = 1.5$ veće od $-1 ,$ rešenje je validno. Pišemo konačan oblik kompleksnog broja $z .$

z = \frac{3}{2} - 2i

94.d