Sistem sa modulima: |z - i| = |z + 3i|

Pretpostavimo da je kompleksan broj $z$ zapisan u algebarskom obliku $z = x + iy ,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi. Zamenjujemo ovaj izraz u prvu jednačinu sistema.

|x + iy - i| = |x + iy + 3i|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula, a zatim primenjujemo definiciju modula kompleksnog broja $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .$

\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}

Kvadriramo obe strane i sređujemo jednačinu kako bismo odredili vrednost za $y .$

x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 6y + 9

Nakon poništavanja članova $x^2$ i $y^2 ,$ dobijamo linearnu jednačinu po $y .$

-2y + 1 = 6y + 9 \implies 8y = -8 \implies y = -1

Sada koristimo drugu jednačinu sistema $|z| = |z - 3 - i|$ i zamenjujemo $z = x + iy .$

|x + iy| = |x + iy - 3 - i|

Primenjujemo definiciju modula i na drugu jednačinu.

\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2}

Kvadriramo i zamenjujemo već pronađenu vrednost $y = -1 .$

x^2 + (-1)^2 = (x - 3)^2 + (-1 - 1)^2

Računamo vrednost nepoznate $x .$

x^2 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 4 \implies 6x = 12 \implies x = 2

Na osnovu dobijenih vrednosti $x = 2$ i $y = -1 ,$ formiramo konačno rešenje za kompleksan broj $z .$

z = 2 - i

Započni učenje

Privatni časovi

105.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci