1441.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z koji zadovoljavaju sistem jednačina:

∣z−2∣=∣z+3∣=∣z+2i∣|z - 2| = |z + 3| = |z + 2i|
REŠENJE ZADATKA

Neka je kompleksni broj z z predstavljen u algebarskom obliku kao z=x+iy, z = x + iy , gde su x,y∈R. x, y \in \mathbb{R} . Tada modul kompleksnog broja ∣z−z0∣ |z - z_0| predstavlja rastojanje tačke (x,y) (x, y) od tačke z0. z_0 .

z=x+iyz = x + iy

Izjednačavamo kvadrate modula iz prve dve relacije ∣z−2∣=∣z+3∣ |z - 2| = |z + 3| kako bismo eliminisali korene:

(x−2)2+y2=(x+3)2+y2(x - 2)^2 + y^2 = (x + 3)^2 + y^2

Sređujemo dobijenu jednačinu po x: x :

x2−4x+4+y2=x2+6x+9+y2−4x+4=6x+9−10x=5x=−12x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 6x + 9 + y^2 \\ -4x + 4 = 6x + 9 \\ -10x = 5 \\ x = -\frac{1}{2}

Sada koristimo drugu jednakost ∣z+3∣=∣z+2i∣ |z + 3| = |z + 2i| i kvadriramo obe strane:

(x+3)2+y2=x2+(y+2)2(x + 3)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2

Zamenjujemo već nađenu vrednost x=−12 x = -\frac{1}{2} u jednačinu:

(−12+3)2+y2=(−12)2+y2+4y+4(52)2+y2=14+y2+4y+4254=14+4y+164(-\frac{1}{2} + 3)^2 + y^2 = (-\frac{1}{2})^2 + y^2 + 4y + 4 \\ (\frac{5}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4} + y^2 + 4y + 4 \\ \frac{25}{4} = \frac{1}{4} + 4y + \frac{16}{4}

Računamo vrednost za y: y :

254=4y+1744y=254−1744y=844y=2y=12\frac{25}{4} = 4y + \frac{17}{4} \\ 4y = \frac{25}{4} - \frac{17}{4} \\ 4y = \frac{8}{4} \\ 4y = 2 \\ y = \frac{1}{2}

Kombinovanjem dobijenih vrednosti za realni i imaginarni deo, dobijamo traženi kompleksni broj:

z=−12+12iz = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti