Tri jednaka modula: |z - 2| = |z + 3| = |z + 2i|

Neka je kompleksni broj $z$ predstavljen u algebarskom obliku kao $z = x + iy ,$ gde su $x, y \in \mathbb{R} .$ Tada modul kompleksnog broja $|z - z_0|$ predstavlja rastojanje tačke $(x, y)$ od tačke $z_0 .$

z = x + iy

Izjednačavamo kvadrate modula iz prve dve relacije $|z - 2| = |z + 3|$ kako bismo eliminisali korene:

(x - 2)^2 + y^2 = (x + 3)^2 + y^2

Sređujemo dobijenu jednačinu po $x :$

x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 6x + 9 + y^2 \\ -4x + 4 = 6x + 9 \\ -10x = 5 \\ x = -\frac{1}{2}

Sada koristimo drugu jednakost $|z + 3| = |z + 2i|$ i kvadriramo obe strane:

(x + 3)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2

Zamenjujemo već nađenu vrednost $x = -\frac{1}{2}$ u jednačinu:

(-\frac{1}{2} + 3)^2 + y^2 = (-\frac{1}{2})^2 + y^2 + 4y + 4 \\ (\frac{5}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4} + y^2 + 4y + 4 \\ \frac{25}{4} = \frac{1}{4} + 4y + \frac{16}{4}

Računamo vrednost za $y :$

\frac{25}{4} = 4y + \frac{17}{4} \\ 4y = \frac{25}{4} - \frac{17}{4} \\ 4y = \frac{8}{4} \\ 4y = 2 \\ y = \frac{1}{2}

Kombinovanjem dobijenih vrednosti za realni i imaginarni deo, dobijamo traženi kompleksni broj:

z = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

Započni učenje

Privatni časovi

105.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci