1447.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z za koje je:

∣z∣2+z=0|z|^2 + z = 0
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo da je kompleksni broj z z zapisan u algebarskom obliku, gde su x x i y y realni brojevi.

z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy, \quad x, y \in \mathbb{R}

Primenimo definiciju kvadrata modula kompleksnog broja ∣z∣2=x2+y2 |z|^2 = x^2 + y^2 i zamenimo u polaznu jednačinu.

(x2+y2)+(x+iy)=0(x^2 + y^2) + (x + iy) = 0

Grupišemo realni i imaginarni deo jednačine.

(x2+y2+x)+i(y)=0+i0(x^2 + y^2 + x) + i(y) = 0 + i0

Kompleksni broj je jednak nuli ako i samo ako su i njegov realni i njegov imaginarni deo jednaki nuli. Formiramo sistem jednačina:

{x2+y2+x=0y=0\begin{cases} x^2 + y^2 + x = 0 \\ y = 0 \end{cases}

Zamenimo vrednost y=0 y = 0 u prvu jednačinu sistema kako bismo pronašli vrednosti za x. x .

x2+02+x=0  ⟹  x2+x=0x^2 + 0^2 + x = 0 \implies x^2 + x = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po x x izvlačenjem zajedničkog faktora ispred zagrade.

x(x+1)=0x(x + 1) = 0

Dobijamo dva moguća rešenja za realni deo x. x .

x1=0,x2=−1x_1 = 0, \quad x_2 = -1

Na osnovu dobijenih vrednosti za x x i fiksne vrednosti y=0, y = 0 , pišemo konačna rešenja za kompleksni broj z. z .

z1=0+i0=0,z2=−1+i0=−1z_1 = 0 + i0 = 0, \quad z_2 = -1 + i0 = -1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti