1443.

Kompleksni brojevi

Predstavimo kompleksan broj $z$ u algebarskom obliku $z = x + iy ,$ gde su $x, y \in \mathbb{R} .$ Tada je konjugovano kompleksni broj $\overline{z} = x - iy ,$ a njegov modul je $|\overline{z}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} .$

Zamenimo ove izraze u polaznu jednačinu:

Razdvajamo realni i imaginarni deo jednačine. Kompleksan broj je jednak nuli ako i samo ako su i njegov realni i njegov imaginarni deo jednaki nuli.

Iz druge jednačine $2xy = 0$ sledi da je $x = 0$ ili $y = 0 .$ Razmatramo oba slučaja.

Slučaj 1: $x = 0 .$ Zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

Rešavamo jednačinu $|y| = y^2 .$ Pošto je $y^2 = |y|^2 ,$ imamo $|y| - |y|^2 = 0 ,$ odnosno $|y|(1 - |y|) = 0 .$ Rešenja su $|y| = 0$ (što daje $y = 0$) i $|y| = 1$ (što daje $y = 1$ ili $y = -1$).

Slučaj 2: $y = 0 .$ Zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

Pošto su $x^2 \ge 0$ i $|x| \ge 0 ,$ njihov zbir može biti nula samo ako su oba člana nula.

Sakupljamo sva rešenja za $z = x + iy :$