1444. Kompleksni brojevi

Pretpostavimo da je kompleksan broj $z$ zapisan u algebarskom obliku, gde su $x$ i $y$ realni brojevi.

z = x + iy, \quad x, y \in \mathbb{R}

Kvadriramo kompleksan broj $z$ koristeći formulu za kvadrat binoma, uzimajući u obzir da je $i^2 = -1 .$

z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)

Iz dobijenog izraza identifikujemo imaginarni deo, odnosno koeficijent uz imaginarnu jedinicu $i .$

\text{Im}(z^2) = 2xy

Prema uslovu zadatka, imaginarni deo mora biti jednak nuli.

2xy = 0

Ovaj proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

x = 0 \quad \text{ili} \quad y = 0

Zaključujemo da su traženi kompleksni brojevi oni koji se nalaze na realnoj ili na imaginarnoj osi u kompleksnoj ravni.

z = x \quad \text{ili} \quad z = xi

1444.Kompleksni brojevi