1445.

103.a

TEKST ZADATKA

Pokazati da je:

∣z∣2=z⋅z‾|z|^2 = z \cdot \overline{z}
REŠENJE ZADATKA

Definišemo kompleksan broj z z u njegovom algebarskom obliku, gde su x x i y y realni brojevi, a i i imaginarna jedinica.

z=x+iyz = x + iy

Određujemo konjugovano kompleksan broj z‾ \overline{z} menjanjem znaka imaginarnog dela.

z‾=x−iy\overline{z} = x - iy

Računamo moduo kompleksnog broja z. z .

∣z∣=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Kvadriramo izraz za moduo kako bismo dobili levu stranu jednakosti.

∣z∣2=(x2+y2)2=x2+y2|z|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2

Sada računamo desnu stranu jednakosti množenjem broja z z i njegovog konjugovanog para z‾. \overline{z} .

z⋅z‾=(x+iy)(x−iy)z \cdot \overline{z} = (x + iy)(x - iy)

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata (a+b)(a−b)=a2−b2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

z⋅z‾=x2−(iy)2z \cdot \overline{z} = x^2 - (iy)^2

Koristimo osobinu imaginarne jedinice i2=−1 i^2 = -1 da uprostimo izraz.

z⋅z‾=x2−i2y2=x2−(−1)y2=x2+y2z \cdot \overline{z} = x^2 - i^2 y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2

Upoređivanjem rezultata sa leve i desne strane, zaključujemo da je jednakost potvrđena.

x2+y2=x2+y2  ⟹  ∣z∣2=z⋅z‾x^2 + y^2 = x^2 + y^2 \implies |z|^2 = z \cdot \overline{z}