Dokaz: kvadrat modula jednak z puta konjugovano z

Definišemo kompleksan broj $z$ u njegovom algebarskom obliku, gde su $x$ i $y$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

z = x + iy

Određujemo konjugovano kompleksan broj $\overline{z}$ menjanjem znaka imaginarnog dela.

\overline{z} = x - iy

Računamo moduo kompleksnog broja $z .$

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Kvadriramo izraz za moduo kako bismo dobili levu stranu jednakosti.

|z|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2

Sada računamo desnu stranu jednakosti množenjem broja $z$ i njegovog konjugovanog para $\overline{z} .$

z \cdot \overline{z} = (x + iy)(x - iy)

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .$

z \cdot \overline{z} = x^2 - (iy)^2

Koristimo osobinu imaginarne jedinice $i^2 = -1$ da uprostimo izraz.

z \cdot \overline{z} = x^2 - i^2 y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2

Upoređivanjem rezultata sa leve i desne strane, zaključujemo da je jednakost potvrđena.

x^2 + y^2 = x^2 + y^2 \implies |z|^2 = z \cdot \overline{z}

103.a