Dokaz: zbir i proizvod broja i njegovog konjugovanog

Prvo uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja $z ,$ gde su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

z = a + bi, \quad a, b \in \mathbb{R}

Zapisujemo konjugovano kompleksni broj $\overline{z} ,$ koji se dobija promenom znaka imaginarnog dela broja $z .$

\overline{z} = a - bi

Dokazujemo da je zbir $z + \overline{z}$ realan broj tako što sabiramo njihove realne i imaginarne delove.

z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi)

Sređivanjem izraza vidimo da se imaginarni delovi poništavaju.

z + \overline{z} = a + a + bi - bi = 2a

Pošto je $a \in \mathbb{R} ,$ sledi da je i $2a \in \mathbb{R} .$ Time je prvi deo dokazan.

z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) \in \mathbb{R}

Zatim dokazujemo da je proizvod $z \cdot \overline{z}$ realan broj koristeći formulu za razliku kvadrata.

z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi)

Primenjujemo pravilo množenja i koristimo činjenicu da je $i^2 = -1 .$

z \cdot \overline{z} = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2

Kako su $a$ i $b$ realni brojevi, njihov zbir kvadrata je takođe realan broj. Time je i drugi deo dokazan.

z \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}

102.b