Dokaz: z je jednako konjugovanom z samo ako je realan

Pretpostavimo da je kompleksan broj $z$ dat u algebarskom obliku, gde su $x$ i $y$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

z = x + iy, \quad x, y \in \mathbb{R}

Konjugovano kompleksan broj $\overline{z}$ dobijamo menjanjem znaka imaginarnog dela.

\overline{z} = x - iy

Dokazujemo prvi smer $(\implies):$ Ako je $z = \overline{z} ,$ onda je $z$ realan broj. Izjednačavamo izraze za $z$ i $\overline{z} .$

x + iy = x - iy

Sređujemo jednačinu oduzimanjem $x$ sa obe strane i prebacivanjem svih članova na jednu stranu.

iy = -iy \implies 2iy = 0

Pošto je $i \neq 0 ,$ zaključujemo kolika mora biti vrednost imaginarnog dela.

y = 0

Ako je $y = 0 ,$ onda broj $z$ nema imaginarni deo, što znači da je on realan broj.

z = x + i0 = x \implies z \in \mathbb{R}

Dokazujemo drugi smer $(\impliedby):$ Ako je $z$ realan broj, onda je $z = \overline{z} .$ Za realan broj važi da je njegov imaginarni deo nula.

z = x + i0, \quad x \in \mathbb{R}

Računamo konjugovanu vrednost takvog broja.

\overline{z} = x - i0 = x

Zaključujemo da su za realan broj polazna i konjugovana vrednost identične.

z = x = \overline{z}

102.a