Dokaz: konjugovani broj proizvoda dva broja

Prvo definišemo kompleksne brojeve $z_1$ i $z_2$ u algebarskom obliku.

z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Određujemo konjugovano kompleksne vrednosti za oba broja.

\overline{z_1} = a - bi, \quad \overline{z_2} = c - di

Računamo proizvod $z_1 \cdot z_2$ pre primene konjugacije.

z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Koristeći osobinu $i^2 = -1 ,$ grupišemo realni i imaginarni deo proizvoda.

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Sada nalazimo konjugovanu vrednost dobijenog proizvoda (levu stranu jednakosti).

\overline{z_1 \cdot z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i

Zatim računamo proizvod konjugovanih brojeva (desnu stranu jednakosti).

\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2

Ponovo koristimo $i^2 = -1$ i sređujemo izraz.

\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i

Upoređivanjem rezultata iz koraka 5 i koraka 7, zaključujemo da su leva i desna strana identične, čime je dokaz završen.

(ac - bd) - (ad + bc)i = (ac - bd) - (ad + bc)i

101.g