Dokaz: konjugovani broj recipročne vrednosti

Neka je kompleksan broj $z$ predstavljen u obliku $z = a + bi ,$ gde su $a, b \in \mathbb{R}$ i $a^2 + b^2 \neq 0 .$ Tada je recipročna vrednost broja $z$ definisana kao:

z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi}

Vršimo racionalizaciju imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem $\overline{z} = a - bi :$

z^{-1} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i

Sada tražimo konjugovanu vrednost dobijenog rezultata $\overline{z^{-1}} .$ Menjamo znak imaginarnom delu:

\overline{z^{-1}} = \frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2}i

Sa druge strane, odredimo desnu stranu jednakosti $\overline{z}^{-1} .$ Prvo nalazimo konjugovan broj $\overline{z} ,$ a zatim njegovu recipročnu vrednost:

\overline{z}^{-1} = \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{a - bi}

Racionalizujemo izraz množenjem sa $a + bi :$

\overline{z}^{-1} = \frac{a + bi}{(a - bi)(a + bi)} = \frac{a + bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2}i

Upoređivanjem rezultata iz koraka 3 i koraka 5, vidimo da su izrazi identični, čime je dokaz završen.

\frac{a + bi}{a^2 + b^2} = \frac{a + bi}{a^2 + b^2}

Započni učenje

Privatni časovi

101.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci