Dokaz: konjugovani broj količnika dva broja

Neka su kompleksni brojevi $z_1$ i $z_2$ zapisani u algebarskom obliku. Uvodimo zamene:

z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Prvo računamo količnik $\frac{z_1}{z_2}$ množenjem brojioca i imenioca konjugovanim parom imenioca $\overline{z_2} = c - di :$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Određujemo konjugovanu vrednost dobijenog količnika (menjamo znak imaginarnog dela):

\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} - \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Sada računamo desnu stranu jednakosti, odnosno količnik konjugovanih vrednosti $\overline{z_1} = a - bi$ i $\overline{z_2} = c - di :$

\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \frac{a - bi}{c - di} \cdot \frac{c + di}{c + di}

Množimo kompleksne brojeve u brojiocu i imeniocu:

\frac{(ac + bd) + (ad - bc)i}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Upoređivanjem rezultata iz koraka 3 i koraka 5, vidimo da su izrazi identični, čime je dokaz završen.

\frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

101.đ