Dokaz: konjugovani broj zbira dva broja

Definišemo kompleksne brojeve $z_1$ i $z_2$ u algebarskom obliku preko njihovih realnih i imaginarnih delova.

z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Prvo računamo zbir ova dva kompleksna broja.

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

Sada primenjujemo operaciju konjugovanja na dobijeni zbir. Konjugovani broj dobijamo promenom znaka imaginarnog dela.

\overline{z_1 + z_2} = (a + c) - (b + d)i

Sa druge strane, odredimo konjugovane vrednosti pojedinačnih brojeva $z_1$ i $z_2 .$

\overline{z_1} = a - bi, \quad \overline{z_2} = c - di

Saberemo ove dve konjugovane vrednosti.

\overline{z_1} + \overline{z_2} = (a - bi) + (c - di)

Grupišemo realne i imaginarne delove izraza.

\overline{z_1} + \overline{z_2} = (a + c) + (-b - d)i = (a + c) - (b + d)i

Upoređivanjem rezultata iz koraka 3 i koraka 6, vidimo da su izrazi identični, čime je tvrđenje dokazano.

(a + c) - (b + d)i = (a + c) - (b + d)i

101.b