1235. Kompleksni brojevi

Primetimo da je lakše prvo izračunati kvadrat kompleksnog broja $1 + i$ kako bismo pojednostavili stepenovanje.

(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2

Znamo da je imaginarna jedinica definisana kao $i^2 = -1 ,$ pa vršimo zamenu u izrazu.

(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada polazni izraz možemo transformisati koristeći pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

(1 + i)^{50} = ((1 + i)^2)^{25}

Zamenjujemo prethodno dobijeni rezultat $(1 + i)^2 = 2i$ u transformisani izraz.

((1 + i)^2)^{25} = (2i)^{25}

Primenjujemo stepen na svaki faktor unutar zagrade.

(2i)^{25} = 2^{25} imes i^{25}

Računamo vrednost $i^{25}$ deljenjem izložioca sa 4 i traženjem ostatka.

25 = 4 imes 6 + 1 \\ i^{25} = i^{4 imes 6 + 1} = (i^4)^6 imes i^1

Pošto je $i^4 = 1 ,$ dobijamo krajnju vrednost stepena imaginarne jedinice.

i^{25} = 1^6 imes i = i

Konačno, spajamo sve delove da bismo potvrdili identitet.

(1 + i)^{50} = 2^{25} imes i

1235.Kompleksni brojevi