Dokaz identiteta sa stepenima 1000 i 500

Prvo ćemo transformisati izraz u brojiocu. Koristimo osobinu da je $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 .$

(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada brojioc $(1 + i)^{1000}$ možemo napisati kao $((1 + i)^2)^{500} .$

(1 + i)^{1000} = (2i)^{500} = 2^{500} \cdot i^{500}

Slično tome, transformišemo izraz u imeniocu koristeći $(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 .$

(1 - i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Imenilac $(1 - i)^{500}$ pišemo kao $((1 - i)^2)^{250} .$

(1 - i)^{500} = (-2i)^{250} = (-2)^{250} \cdot i^{250} = 2^{250} \cdot i^{250}

Sada delimo transformisani brojilac i imenilac.

\frac{2^{500} \cdot i^{500}}{2^{250} \cdot i^{250}} = 2^{500-250} \cdot i^{500-250} = 2^{250} \cdot i^{250}

Računamo vrednost stepena imaginarne jedinice $i^{250} .$ Pošto je $250 = 4 \cdot 62 + 2 ,$ važi:

i^{250} = i^{4 \cdot 62 + 2} = (i^4)^{62} \cdot i^2 = 1^{62} \cdot (-1) = -1

Konačno, zamenom vrednosti dobijamo traženi rezultat:

2^{250} \cdot (-1) = -2^{250}

72.g