Dokaz: (1 − i) na 100 jednako minus 2 na 50

Primetimo da je lakše prvo kvadrirati izraz u zagradi, a zatim primeniti stepenovanje na dobijeni rezultat. Koristimo formulu za kvadrat binoma $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :$

(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2

Znamo da je po definiciji imaginarne jedinice $i^2 = -1 .$ Zamenom ove vrednosti, izraz se pojednostavljuje:

(1 - i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Sada polazni izraz $(1 - i)^{100}$ možemo napisati kao stepen kvadrata koristeći pravilo $(a^m)^n = a^{m \cdot n} :$

(1 - i)^{100} = ((1 - i)^2)^{50}

Zamenimo prethodno dobijenu vrednost $(1 - i)^2 = -2i$ u izraz:

(-2i)^{50} = (-2)^{50} \cdot i^{50}

Kako je izložilac 50 paran broj, negativan znak osnove postaje pozitivan, pa imamo:

(-2)^{50} = 2^{50}

Sada računamo vrednost stepena imaginarne jedinice $i^{50} .$ Delimo izložilac sa 4 i tražimo ostatak:

50 = 4 \cdot 12 + 2

Na osnovu ostatka pri deljenju, zaključujemo kolika je vrednost stepena:

i^{50} = i^2 = -1

Konačno, spajamo sve dobijene delove u finalni rezultat:

(1 - i)^{100} = 2^{50} \cdot (-1) = -2^{50}

Započni učenje

Online časovi

72.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci