1230.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet u skupu kompleksnih brojeva:

(1−i)100=−250(1 - i)^{100} = -2^{50}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je lakše prvo kvadrirati izraz u zagradi, a zatim primeniti stepenovanje na dobijeni rezultat. Koristimo formulu za kvadrat binoma (a−b)2=a2−2ab+b2: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :

(1−i)2=12−2⋅1⋅i+i2(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2

Znamo da je po definiciji imaginarne jedinice i2=−1. i^2 = -1 . Zamenom ove vrednosti, izraz se pojednostavljuje:

(1−i)2=1−2i−1=−2i(1 - i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Sada polazni izraz (1−i)100 (1 - i)^{100} možemo napisati kao stepen kvadrata koristeći pravilo (am)n=am⋅n: (a^m)^n = a^{m \cdot n} :

(1−i)100=((1−i)2)50(1 - i)^{100} = ((1 - i)^2)^{50}

Zamenimo prethodno dobijenu vrednost (1−i)2=−2i (1 - i)^2 = -2i u izraz:

(−2i)50=(−2)50⋅i50(-2i)^{50} = (-2)^{50} \cdot i^{50}

Kako je izložilac 50 paran broj, negativan znak osnove postaje pozitivan, pa imamo:

(−2)50=250(-2)^{50} = 2^{50}

Sada računamo vrednost stepena imaginarne jedinice i50. i^{50} . Delimo izložilac sa 4 i tražimo ostatak:

50=4⋅12+250 = 4 \cdot 12 + 2

Na osnovu ostatka pri deljenju, zaključujemo kolika je vrednost stepena:

i50=i2=−1i^{50} = i^2 = -1

Konačno, spajamo sve dobijene delove u finalni rezultat:

(1−i)100=250⋅(−1)=−250(1 - i)^{100} = 2^{50} \cdot (-1) = -2^{50}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti