Uprostiti izraz za x jednako koren iz mn

Prvo ćemo se osloboditi negativnog izložioca tako što ćemo recipročno obrnuti razlomak.

\left( \frac{\sqrt{m + x}\sqrt{x + n} + \sqrt{m - x}\sqrt{x-n}}{\sqrt{m + x}\sqrt{x + n} - \sqrt{m - x}\sqrt{x-n}} \right)^{2}

Da bismo lakše manipulisali izrazom, uvedimo smene $A = \sqrt{m + x}\sqrt{x + n}$ i $B = \sqrt{m - x}\sqrt{x - n} .$ Izraz tada postaje kvadariran razlomak koji možemo raspisati:

\left( \frac{A + B}{A - B} \right)^2 = \frac{(A + B)^2}{(A - B)^2} = \frac{A^2 + B^2 + 2AB}{A^2 + B^2 - 2AB}

Računamo kvadrate $A^2$ i $B^2 :$

\begin{aligned} A^2 &= (m + x)(x + n) = mx + mn + x^2 + xn \\ B^2 &= (m - x)(x - n) = mx - mn - x^2 + xn \end{aligned}

Sabiramo dobijene izraze da bismo našli vrednost za $A^2 + B^2 :$

A^2 + B^2 = (mx + mn + x^2 + xn) + (mx - mn - x^2 + xn) = 2mx + 2xn = 2x(m + n)

Sada računamo proizvod $AB .$ Pod istim korenom, množimo izraze i koristimo razliku kvadrata:

AB = \sqrt{(m + x)(m - x)(x + n)(x - n)} = \sqrt{(m^2 - x^2)(x^2 - n^2)}

Zamenjujemo uslov zadatka $x = \sqrt{mn} ,$ odnosno $x^2 = mn ,$ u izraz za $AB :$

AB = \sqrt{(m^2 - mn)(mn - n^2)} = \sqrt{m(m - n)n(m - n)} = \sqrt{mn(m - n)^2}

Pošto je $m > n > 0 ,$ važi $m - n > 0 ,$ a kako je iz uslova zadatka $\sqrt{mn} = x ,$ koren se uprošćava u:

AB = (m - n)\sqrt{mn} = x(m - n)

Zamenjujemo dobijene vrednosti za $A^2 + B^2$ i $AB$ nazad u razlomak iz trećeg koraka:

\frac{2x(m + n) + 2x(m - n)}{2x(m + n) - 2x(m - n)}

Uprošćavamo brojilac i imenilac grupisanjem i skraćivanjem kako bismo dobili konačan rezultat:

\frac{2x(m + n + m - n)}{2x(m + n - m + n)} = \frac{2x(2m)}{2x(2n)} = \frac{4xm}{4xn} = \frac{m}{n}

Započni učenje

Online časovi

67.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci