Dokaz identiteta sa razlomcima 1 + a na n

Prvo ćemo transformisati levu stranu izraza (L) koristeći definiciju negativnog stepena $x^{-1} = \frac{1}{x} .$

L = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{1}{1 - a^{-n}} - \frac{1}{a^{-2n} - 1}

Sredimo drugi i treći razlomak tako što ćemo eliminisati negativne stepene u imeniocu množenjem brojioca i imenioca sa $a^n ,$ odnosno $a^{2n} .$

\frac{1}{1 - a^{-n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{a^n}} = \frac{a^n}{a^n - 1}

Slično transformišemo i treći član izraza:

\frac{1}{a^{-2n} - 1} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}} - 1} = \frac{a^{2n}}{1 - a^{2n}}

Sada leva strana (L) glasi:

L = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{a^n}{a^n - 1} - \frac{a^{2n}}{1 - a^{2n}}

Primetimo da je $1 - a^{2n} = (1 - a^n)(1 + a^n) .$ Promenićemo znak drugog člana kako bismo imali zajednički imenilac.

L = \frac{1}{2(1 + a^n)} + \frac{a^n}{1 - a^n} - \frac{a^{2n}}{(1 - a^n)(1 + a^n)}

Svedimo sve na zajednički imenilac $2(1 - a^n)(1 + a^n) :$

L = \frac{(1 - a^n) + 2a^n(1 + a^n) - 2a^{2n}}{2(1 - a^n)(1 + a^n)}

Sredimo brojilac:

1 - a^n + 2a^n + 2a^{2n} - 2a^{2n} = 1 + a^n

Zamenimo sređeni brojilac u izraz i skratimo sa $(1 + a^n) :$

L = \frac{1 + a^n}{2(1 - a^n)(1 + a^n)} = \frac{1}{2(1 - a^n)}

Desna strana originalnog identiteta (D) je takođe:

D = (2(1 - a^n))^{-1} = \frac{1}{2(1 - a^n)}

Pošto je $L = D ,$ identitet je dokazan.

\frac{1}{2(1 - a^n)} = \frac{1}{2(1 - a^n)}

12.đ