Dokaz identiteta sa negativnim stepenima od a na n

Prvo ćemo transformisati negativne eksponente u razlomke koristeći pravilo $x^{-k} = \frac{1}{x^k} .$

\frac{1}{a^n} \cdot \frac{1}{a^n - 1} - \frac{2}{a^{2n} - 1} + \frac{1}{a^n} \cdot \frac{1}{a^n + 1} = 0

Sredimo prvi i treći član množenjem imenilaca.

\frac{1}{a^n(a^n - 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} + \frac{1}{a^n(a^n + 1)} = 0

Primetimo da je srednji imenilac razlika kvadrata: $a^{2n} - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1) .$ Grupišimo prvi i treći član kako bismo ih lakše sabrali.

\left( \frac{1}{a^n(a^n - 1)} + \frac{1}{a^n(a^n + 1)} \right) - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Nađimo zajednički imenilac za članove u zagradi. Zajednički imenilac je $a^n(a^n - 1)(a^n + 1) .$

\frac{(a^n + 1) + (a^n - 1)}{a^n(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Sredimo brojilac u prvom razlomku. Sabiranjem dobijamo $2a^n .$

\frac{2a^n}{a^n(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Skratimo $a^n$ u brojilacu i imeniocu prvog razlomka.

\frac{2}{(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Pošto je $(a^n - 1)(a^n + 1) = a^{2n} - 1 ,$ izraz postaje razlika dva identična člana.

\frac{2}{a^{2n} - 1} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Oduzimanjem dobijamo nulu, čime je identitet dokazan.

0 = 0

8.a