PrethodniSledeći
945.

8.a

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet pod uslovima a≠0 a \neq 0 i a≠±1: a \neq \pm 1 :

a−n(an−1)−1−2(a2n−1)−1+a−n(an+1)−1=0a^{-n}(a^n - 1)^{-1} - 2(a^{2n} - 1)^{-1} + a^{-n}(a^n + 1)^{-1} = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati negativne eksponente u razlomke koristeći pravilo x−k=1xk. x^{-k} = \frac{1}{x^k} .

1an⋅1an−1−2a2n−1+1an⋅1an+1=0\frac{1}{a^n} \cdot \frac{1}{a^n - 1} - \frac{2}{a^{2n} - 1} + \frac{1}{a^n} \cdot \frac{1}{a^n + 1} = 0

Sredimo prvi i treći član množenjem imenilaca.

1an(an−1)−2a2n−1+1an(an+1)=0\frac{1}{a^n(a^n - 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} + \frac{1}{a^n(a^n + 1)} = 0

Primetimo da je srednji imenilac razlika kvadrata: a2n−1=(an−1)(an+1). a^{2n} - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1) . Grupišimo prvi i treći član kako bismo ih lakše sabrali.

(1an(an−1)+1an(an+1))−2a2n−1=0\left( \frac{1}{a^n(a^n - 1)} + \frac{1}{a^n(a^n + 1)} \right) - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Nađimo zajednički imenilac za članove u zagradi. Zajednički imenilac je an(an−1)(an+1). a^n(a^n - 1)(a^n + 1) .

(an+1)+(an−1)an(an−1)(an+1)−2a2n−1=0\frac{(a^n + 1) + (a^n - 1)}{a^n(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Sredimo brojilac u prvom razlomku. Sabiranjem dobijamo 2an. 2a^n .

2anan(an−1)(an+1)−2a2n−1=0\frac{2a^n}{a^n(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Skratimo an a^n u brojilacu i imeniocu prvog razlomka.

2(an−1)(an+1)−2a2n−1=0\frac{2}{(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Pošto je (an−1)(an+1)=a2n−1, (a^n - 1)(a^n + 1) = a^{2n} - 1 , izraz postaje razlika dva identična člana.

2a2n−1−2a2n−1=0\frac{2}{a^{2n} - 1} - \frac{2}{a^{2n} - 1} = 0

Oduzimanjem dobijamo nulu, čime je identitet dokazan.

0=00 = 0

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu