Dokaz identiteta: rezultat jedna polovina

Prvo ćemo transformisati članove koji sadrže negativne stepene $a^{-n}$ i $a^{-2n}$ koristeći definiciju stepena $a^{-k} = \frac{1}{a^k} .$

1 - a^{-n} = 1 - \frac{1}{a^n} = \frac{a^n - 1}{a^n} \quad \text{i} \quad a^{-2n} - 1 = \frac{1}{a^{2n}} - 1 = \frac{1 - a^{2n}}{a^{2n}}

Sada zamenjujemo ove izraze nazad u početnu jednačinu na levoj strani (L):

L = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{1}{2\left(\frac{a^n - 1}{a^n}\right)} - \frac{1}{\frac{1 - a^{2n}}{a^{2n}}}

Sređujemo dvojne razlomke:

L = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{a^n}{2(a^n - 1)} - \frac{a^{2n}}{1 - a^{2n}}

Primetimo da je $1 - a^{2n} = (1 - a^n)(1 + a^n) .$ Da bismo imali zajednički imenilac, promenićemo znak u trećem članu i drugom članu kako bi imenioce uskladili sa faktorima razlike kvadrata.

L = \frac{1}{2(a^n + 1)} + \frac{a^n}{2(1 - a^n)} - \frac{a^{2n}}{(1 - a^n)(1 + a^n)}

Svodimo sve na zajednički imenilac koji je $2(1 - a^n)(1 + a^n) :$

L = \frac{1 - a^n + a^n(1 + a^n) - 2a^{2n}}{2(1 - a^n)(1 + a^n)}

Sređujemo brojilac:

L = \frac{1 - a^n + a^n + a^{2n} - 2a^{2n}}{2(1 - a^{2n})} = \frac{1 - a^{2n}}{2(1 - a^{2n})}

Skraćivanjem izraza $1 - a^{2n}$ u brojiocu i imeniocu dobijamo konačan rezultat, čime je identitet dokazan:

L = \frac{1}{2}

Započni učenje

Online časovi

8.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci