946.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet pod uslovima a≠0 a \neq 0 i a≠±1: a \neq \pm 1 :

12(1+an)−12(1−a−n)−1a−2n−1=12\frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{1}{2(1 - a^{-n})} - \frac{1}{a^{-2n} - 1} = \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati članove koji sadrže negativne stepene a−n a^{-n} i a−2n a^{-2n} koristeći definiciju stepena a−k=1ak. a^{-k} = \frac{1}{a^k} .

1−a−n=1−1an=an−1ania−2n−1=1a2n−1=1−a2na2n1 - a^{-n} = 1 - \frac{1}{a^n} = \frac{a^n - 1}{a^n} \quad \text{i} \quad a^{-2n} - 1 = \frac{1}{a^{2n}} - 1 = \frac{1 - a^{2n}}{a^{2n}}

Sada zamenjujemo ove izraze nazad u početnu jednačinu na levoj strani (L):

L=12(1+an)−12(an−1an)−11−a2na2nL = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{1}{2\left(\frac{a^n - 1}{a^n}\right)} - \frac{1}{\frac{1 - a^{2n}}{a^{2n}}}

Sređujemo dvojne razlomke:

L=12(1+an)−an2(an−1)−a2n1−a2nL = \frac{1}{2(1 + a^n)} - \frac{a^n}{2(a^n - 1)} - \frac{a^{2n}}{1 - a^{2n}}

Primetimo da je 1−a2n=(1−an)(1+an). 1 - a^{2n} = (1 - a^n)(1 + a^n) . Da bismo imali zajednički imenilac, promenićemo znak u trećem članu i drugom članu kako bi imenioce uskladili sa faktorima razlike kvadrata.

L=12(an+1)+an2(1−an)−a2n(1−an)(1+an)L = \frac{1}{2(a^n + 1)} + \frac{a^n}{2(1 - a^n)} - \frac{a^{2n}}{(1 - a^n)(1 + a^n)}

Svodimo sve na zajednički imenilac koji je 2(1−an)(1+an): 2(1 - a^n)(1 + a^n) :

L=1−an+an(1+an)−2a2n2(1−an)(1+an)L = \frac{1 - a^n + a^n(1 + a^n) - 2a^{2n}}{2(1 - a^n)(1 + a^n)}

Sređujemo brojilac:

L=1−an+an+a2n−2a2n2(1−a2n)=1−a2n2(1−a2n)L = \frac{1 - a^n + a^n + a^{2n} - 2a^{2n}}{2(1 - a^{2n})} = \frac{1 - a^{2n}}{2(1 - a^{2n})}

Skraćivanjem izraza 1−a2n 1 - a^{2n} u brojiocu i imeniocu dobijamo konačan rezultat, čime je identitet dokazan:

L=12L = \frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti