Dokaz identiteta sa a na n − 1 i a na n + 1

Prvi korak je da zapišemo izraze sa negativnim eksponentima u obliku razlomaka.

\frac{1}{a^n - 1} + \frac{1}{a^n + 1} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Primetimo da je imenilac trećeg člana razlika kvadrata, koju možemo rastaviti na činioce.

a^{2n} - 1 = (a^n)^2 - 1^2 = (a^n - 1)(a^n + 1)

Sada svodimo prva dva razlomka na zajednički imenilac, koji je upravo $(a^n - 1)(a^n + 1) .$

\frac{(a^n + 1) + (a^n - 1)}{(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Sređujemo brojilac prvog dela izraza sabiranjem članova.

\frac{a^n + 1 + a^n - 1}{a^{2n} - 1} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Nakon skraćivanja brojeva 1 i -1 u brojiocu, dobijamo sledeći izraz:

\frac{2a^n}{a^{2n} - 1} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Pošto su dva člana identična i suprotnog znaka, njihova razlika je nula, čime je identitet dokazan.

0 = 0

8.v