947.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za a≠±1: a \neq \pm 1 :

(an−1)−1+(an+1)−1−2an(a2n−1)−1=0(a^n - 1)^{-1} + (a^n + 1)^{-1} - 2a^n(a^{2n} - 1)^{-1} = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak je da zapišemo izraze sa negativnim eksponentima u obliku razlomaka.

1an−1+1an+1−2ana2n−1=0\frac{1}{a^n - 1} + \frac{1}{a^n + 1} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Primetimo da je imenilac trećeg člana razlika kvadrata, koju možemo rastaviti na činioce.

a2n−1=(an)2−12=(an−1)(an+1)a^{2n} - 1 = (a^n)^2 - 1^2 = (a^n - 1)(a^n + 1)

Sada svodimo prva dva razlomka na zajednički imenilac, koji je upravo (an−1)(an+1). (a^n - 1)(a^n + 1) .

(an+1)+(an−1)(an−1)(an+1)−2ana2n−1=0\frac{(a^n + 1) + (a^n - 1)}{(a^n - 1)(a^n + 1)} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Sređujemo brojilac prvog dela izraza sabiranjem članova.

an+1+an−1a2n−1−2ana2n−1=0\frac{a^n + 1 + a^n - 1}{a^{2n} - 1} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Nakon skraćivanja brojeva 1 i -1 u brojiocu, dobijamo sledeći izraz:

2ana2n−1−2ana2n−1=0\frac{2a^n}{a^{2n} - 1} - \frac{2a^n}{a^{2n} - 1} = 0

Pošto su dva člana identična i suprotnog znaka, njihova razlika je nula, čime je identitet dokazan.

0=00 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti