Dokaz identiteta: razlomak sa a na n i a na −n

Počinjemo od leve strane izraza (L) i transformišemo članove sa negativnim eksponentom koristeći pravilo $a^{-n} = \frac{1}{a^n} .$

L = \frac{a^n - \frac{1}{a^n}}{a^n + \frac{1}{a^n} - 2}

Svodimo izraze u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac $a^n .$

L = \frac{\frac{(a^n)^2 - 1}{a^n}}{\frac{(a^n)^2 + 1 - 2a^n}{a^n}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca $a^n$ u dvojnom razlomku, dobijamo jednostavniji izraz.

L = \frac{(a^n)^2 - 1}{(a^n)^2 - 2a^n + 1}

Prepoznajemo razliku kvadrata u brojiocu: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) .$

(a^n)^2 - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1)

Prepoznajemo kvadrat binoma u imeniocu: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 .$

(a^n)^2 - 2a^n + 1 = (a^n - 1)^2

Uvrštavamo dobijene faktorisane oblike nazad u izraz.

L = \frac{(a^n - 1)(a^n + 1)}{(a^n - 1)^2}

Skraćivanjem zajedničkog faktora $(a^n - 1)$ dobijamo konačan oblik koji odgovara desnoj strani identiteta.

L = \frac{a^n + 1}{a^n - 1}

8.g