948.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet pod uslovima a≠0 a \neq 0 i a≠±1: a \neq \pm 1 :

an−a−nan+a−n−2=an+1an−1\frac{a^n - a^{-n}}{a^n + a^{-n} - 2} = \frac{a^n + 1}{a^n - 1}
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane izraza (L) i transformišemo članove sa negativnim eksponentom koristeći pravilo a−n=1an. a^{-n} = \frac{1}{a^n} .

L=an−1anan+1an−2L = \frac{a^n - \frac{1}{a^n}}{a^n + \frac{1}{a^n} - 2}

Svodimo izraze u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac an. a^n .

L=(an)2−1an(an)2+1−2ananL = \frac{\frac{(a^n)^2 - 1}{a^n}}{\frac{(a^n)^2 + 1 - 2a^n}{a^n}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca an a^n u dvojnom razlomku, dobijamo jednostavniji izraz.

L=(an)2−1(an)2−2an+1L = \frac{(a^n)^2 - 1}{(a^n)^2 - 2a^n + 1}

Prepoznajemo razliku kvadrata u brojiocu: x2−y2=(x−y)(x+y). x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) .

(an)2−1=(an−1)(an+1)(a^n)^2 - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1)

Prepoznajemo kvadrat binoma u imeniocu: x2−2xy+y2=(x−y)2. x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 .

(an)2−2an+1=(an−1)2(a^n)^2 - 2a^n + 1 = (a^n - 1)^2

Uvrštavamo dobijene faktorisane oblike nazad u izraz.

L=(an−1)(an+1)(an−1)2L = \frac{(a^n - 1)(a^n + 1)}{(a^n - 1)^2}

Skraćivanjem zajedničkog faktora (an−1) (a^n - 1) dobijamo konačan oblik koji odgovara desnoj strani identiteta.

L=an+1an−1L = \frac{a^n + 1}{a^n - 1}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti