PrethodniSledeći
949.

8.d

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet pod uslovima a≠0 a \neq 0 i a≠−1: a \neq -1 :

an−a−nan+a−n+2=an−1an+1\frac{a^n - a^{-n}}{a^n + a^{-n} + 2} = \frac{a^n - 1}{a^n + 1}
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo transformaciju leve strane izraza koristeći definiciju negativnog stepena a−n=1an. a^{-n} = \frac{1}{a^n} .

L=an−1anan+1an+2L = \frac{a^n - \frac{1}{a^n}}{a^n + \frac{1}{a^n} + 2}

Svodimo izraze u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac an. a^n .

L=(an)2−1an(an)2+1+2ananL = \frac{\frac{(a^n)^2 - 1}{a^n}}{\frac{(a^n)^2 + 1 + 2a^n}{a^n}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca an a^n u dvojnom razlomku, dobijamo jednostavniji oblik.

L=(an)2−1(an)2+2an+1L = \frac{(a^n)^2 - 1}{(a^n)^2 + 2a^n + 1}

Prepoznajemo razliku kvadrata u brojiocu x2−y2=(x−y)(x+y) x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) i kvadrat binoma u imeniocu x2+2xy+y2=(x+y)2. x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 .

L=(an−1)(an+1)(an+1)2L = \frac{(a^n - 1)(a^n + 1)}{(a^n + 1)^2}

Skraćivanjem faktora an+1 a^n + 1 u brojiocu i imeniocu (što je dozvoljeno jer je a≠−1 a \neq -1 ), dobijamo krajnji izraz.

L=an−1an+1L = \frac{a^n - 1}{a^n + 1}

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj strani, čime je identitet dokazan.

L=DL = D

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu