Dokaz identiteta sa a na n i a na −n i članom 2

Počinjemo transformaciju leve strane izraza koristeći definiciju negativnog stepena $a^{-n} = \frac{1}{a^n} .$

L = \frac{a^n - \frac{1}{a^n}}{a^n + \frac{1}{a^n} + 2}

Svodimo izraze u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac $a^n .$

L = \frac{\frac{(a^n)^2 - 1}{a^n}}{\frac{(a^n)^2 + 1 + 2a^n}{a^n}}

Skraćivanjem zajedničkog imenioca $a^n$ u dvojnom razlomku, dobijamo jednostavniji oblik.

L = \frac{(a^n)^2 - 1}{(a^n)^2 + 2a^n + 1}

Prepoznajemo razliku kvadrata u brojiocu $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ i kvadrat binoma u imeniocu $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 .$

L = \frac{(a^n - 1)(a^n + 1)}{(a^n + 1)^2}

Skraćivanjem faktora $a^n + 1$ u brojiocu i imeniocu (što je dozvoljeno jer je $a \neq -1$ ), dobijamo krajnji izraz.

L = \frac{a^n - 1}{a^n + 1}

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj strani, čime je identitet dokazan.

L = D

8.d