Dokaz identiteta sa a i b i kvadratom razlike

Prvo ćemo transformisati izraze sa negativnim eksponentima u razlomke unutar zagrada.

\left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) \left( \frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} \right)^{-1}

Sredimo izraze unutar zagrada nalaženjem zajedničkog sadržaoca.

\left( \frac{a^2 - b^2}{ab} \right) \left( \frac{b^2 - 2ab + a^2}{a^2b^2} \right)^{-1}

Primetimo da je brojilac drugog izraza kvadrat razlike $(a-b)^2 .$

b^2 - 2ab + a^2 = (a - b)^2

Sada primenjujemo osobinu negativnog eksponenta $x^{-1} = \frac{1}{x}$ na drugu zagradu, što invertuje razlomak.

\frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a - b)^2}

Rastavljamo razliku kvadrata $a^2 - b^2$ na činioce.

\frac{(a - b)(a + b)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a - b)^2}

Vršimo skraćivanje izraza: skraćujemo $ab$ i jedan faktor $(a - b) .$

(a + b) \cdot \frac{ab}{a - b}

Konačnim sređivanjem dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

\frac{ab(a + b)}{a - b}

12.d