965.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za x≠0 x \neq 0 i x≠±1: x \neq \pm 1 :

(xn−x−n)(xn+x−n−2)−1=(xn+1)(xn−1)−1(x^n - x^{-n})(x^n + x^{-n} - 2)^{-1} = (x^n + 1)(x^n - 1)^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Zapišimo levu stranu izraza koristeći razlomke umesto negativnih stepena.

L=xn−1xnxn+1xn−2L = \frac{x^n - \frac{1}{x^n}}{x^n + \frac{1}{x^n} - 2}

Svedimo brojilac i imenilac na zajednički imenilac xn. x^n .

L=x2n−1xnx2n+1−2xnxnL = \frac{\frac{x^{2n} - 1}{x^n}}{\frac{x^{2n} + 1 - 2x^n}{x^n}}

Skratimo zajednički imenilac xn x^n i prepoznamo kvadrat binoma u imeniocu.

L=x2n−1x2n−2xn+1=x2n−1(xn−1)2L = \frac{x^{2n} - 1}{x^{2n} - 2x^n + 1} = \frac{x^{2n} - 1}{(x^n - 1)^2}

Rastavimo brojilac kao razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

L=(xn−1)(xn+1)(xn−1)2L = \frac{(x^n - 1)(x^n + 1)}{(x^n - 1)^2}

Skratimo izraz sa (xn−1), (x^n - 1) , pod uslovom da je xn≠1. x^n \neq 1 .

L=xn+1xn−1L = \frac{x^n + 1}{x^n - 1}

Zapišimo desnu stranu polaznog identiteta u obliku razlomka.

D=(xn+1)(xn−1)−1=xn+1xn−1D = (x^n + 1)(x^n - 1)^{-1} = \frac{x^n + 1}{x^n - 1}

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

L=DL = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti