Dokaz identiteta sa x na n i x na −n

Zapišimo levu stranu izraza koristeći razlomke umesto negativnih stepena.

L = \frac{x^n - \frac{1}{x^n}}{x^n + \frac{1}{x^n} - 2}

Svedimo brojilac i imenilac na zajednički imenilac $x^n .$

L = \frac{\frac{x^{2n} - 1}{x^n}}{\frac{x^{2n} + 1 - 2x^n}{x^n}}

Skratimo zajednički imenilac $x^n$ i prepoznamo kvadrat binoma u imeniocu.

L = \frac{x^{2n} - 1}{x^{2n} - 2x^n + 1} = \frac{x^{2n} - 1}{(x^n - 1)^2}

Rastavimo brojilac kao razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .$

L = \frac{(x^n - 1)(x^n + 1)}{(x^n - 1)^2}

Skratimo izraz sa $(x^n - 1) ,$ pod uslovom da je $x^n \neq 1 .$

L = \frac{x^n + 1}{x^n - 1}

Zapišimo desnu stranu polaznog identiteta u obliku razlomka.

D = (x^n + 1)(x^n - 1)^{-1} = \frac{x^n + 1}{x^n - 1}

Zaključujemo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

L = D

12.a