967.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet pod uslovima x≠0 x \neq 0 i x≠±1: x \neq \pm 1 :

x−n(xn−1)−1+x−n(xn+1)−1=2(x2n−1)−1x^{-n}(x^n - 1)^{-1} + x^{-n}(x^n + 1)^{-1} = 2(x^{2n} - 1)^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati levu stranu identiteta koristeći definiciju negativnog stepena a−1=1a. a^{-1} = \frac{1}{a} . Izvući ćemo zajednički faktor x−n x^{-n} ispred zagrade.

L=x−n(1xn−1+1xn+1)L = x^{-n} \left( \frac{1}{x^n - 1} + \frac{1}{x^n + 1} \right)

Sada sabiramo razlomke unutar zagrade nalaženjem najmanjeg zajedničkog sadržaoca, što je proizvod (xn−1)(xn+1). (x^n - 1)(x^n + 1) .

L=x−n((xn+1)+(xn−1)(xn−1)(xn+1))L = x^{-n} \left( \frac{(x^n + 1) + (x^n - 1)}{(x^n - 1)(x^n + 1)} \right)

U brojiocu vršimo sabiranje, dok u imeniocu prepoznajemo razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .

L=x−n(2xnx2n−1)L = x^{-n} \left( \frac{2x^n}{x^{2n} - 1} \right)

Sređujemo izraz množenjem x−n x^{-n} i xn, x^n , što daje x0=1. x^0 = 1 .

L=x−n⋅2xnx2n−1=2x2n−1L = \frac{x^{-n} \cdot 2x^n}{x^{2n} - 1} = \frac{2}{x^{2n} - 1}

Konačno, dobijeni izraz zapisujemo u obliku sa negativnim eksponentom kako bismo potvrdili jednakost sa desnom stranom identiteta.

L=2(x2n−1)−1=DL = 2(x^{2n} - 1)^{-1} = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti