966.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za x≠0 x \neq 0 i x≠±1: x \neq \pm 1 :

(xn−x−n)(xn+x−n+2)−1=xn−1xn+1(x^n - x^{-n})(x^n + x^{-n} + 2)^{-1} = \frac{x^n - 1}{x^n + 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati levu stranu identiteta (L), koristeći definiciju negativnog eksponenta a−n=1an. a^{-n} = \frac{1}{a^n} .

L=(xn−1xn)⋅1xn+1xn+2L = (x^n - \frac{1}{x^n}) \cdot \frac{1}{x^n + \frac{1}{x^n} + 2}

Sredićemo izraze u zagradama pronalaženjem zajedničkog imenioca za svaki od njih.

L=x2n−1xn⋅1x2n+1+2xnxnL = \frac{x^{2n} - 1}{x^n} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2n} + 1 + 2x^n}{x^n}}

Sada možemo primeniti pravilo za deljenje razlomaka (množenje recipročnom vrednošću) i uočiti da je imenitelj drugog razloma kvadrat binoma.

L=x2n−1xn⋅xnx2n+2xn+1L = \frac{x^{2n} - 1}{x^n} \cdot \frac{x^n}{x^{2n} + 2x^n + 1}

Skratimo xn x^n u brojiocu i imeniocu, a zatim primenimo formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−1)(a+1) a^2 - b^2 = (a-1)(a+1) i kvadrat binoma a2+2ab+b2=(a+b)2. a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 .

L=(xn−1)(xn+1)(xn+1)2L = \frac{(x^n - 1)(x^n + 1)}{(x^n + 1)^2}

Skraćivanjem zajedničkog faktora (xn+1), (x^n + 1) , dobijamo konačan oblik koji odgovara desnoj strani identiteta (D).

L=xn−1xn+1=DL = \frac{x^n - 1}{x^n + 1} = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti