Dokaz identiteta sa tri razlomka i a na n

Prvo ćemo transformisati levu stranu izraza (L) koristeći definiciju negativnog stepena $x^{-1} = \frac{1}{x}$ i srediti razlomke.

L = \frac{3a^{-n}}{1 - a^{-n}} - \frac{2a^{-n}}{1 + a^{-n}} - \frac{a^n}{a^{2n} - 1}

Pomnožićemo brojioce i imenioce u prva dva člana sa $a^n$ kako bismo eliminisali negativne stepene unutar razlomaka.

L = \frac{3}{a^n - 1} - \frac{2}{a^n + 1} - \frac{a^n}{(a^n - 1)(a^n + 1)}

Sada dovodimo sva tri člana na zajednički imenilac, koji je razlika kvadrata $a^{2n} - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1) .$

L = \frac{3(a^n + 1) - 2(a^n - 1) - a^n}{(a^n - 1)(a^n + 1)}

Sređujemo brojilac oslobađanjem od zagrada i sabiranjem sličnih članova.

L = \frac{3a^n + 3 - 2a^n + 2 - a^n}{a^{2n} - 1} = \frac{5}{a^{2n} - 1}

Sada transformišemo desnu stranu izraza (D) kako bismo proverili da li je jednaka levoj strani.

D = 5a^{-n}(a^n - a^{-n})^{-1} = \frac{5a^{-n}}{a^n - a^{-n}}

Množimo brojilac i imenilac desne strane sa $a^n .$

D = \frac{5a^{-n} \cdot a^n}{(a^n - a^{-n}) \cdot a^n} = \frac{5}{a^{2n} - 1}

Upoređivanjem dobijenih rezultata za levu i desnu stranu, zaključujemo da je identitet dokazan.

L = \frac{5}{a^{2n} - 1} = D

12.g