968.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za a≠0 a \neq 0 i a≠±1: a \neq \pm 1 :

3a−n(1−a−n)−1−2a−n(1+a−n)−1−an(a2n−1)−1=5a−n(an−a−n)−13a^{-n}(1 - a^{-n})^{-1} - 2a^{-n}(1 + a^{-n})^{-1} - a^n(a^{2n} - 1)^{-1} = 5a^{-n}(a^n - a^{-n})^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati levu stranu izraza (L) koristeći definiciju negativnog stepena x−1=1x x^{-1} = \frac{1}{x} i srediti razlomke.

L=3a−n1−a−n−2a−n1+a−n−ana2n−1L = \frac{3a^{-n}}{1 - a^{-n}} - \frac{2a^{-n}}{1 + a^{-n}} - \frac{a^n}{a^{2n} - 1}

Pomnožićemo brojioce i imenioce u prva dva člana sa an a^n kako bismo eliminisali negativne stepene unutar razlomaka.

L=3an−1−2an+1−an(an−1)(an+1)L = \frac{3}{a^n - 1} - \frac{2}{a^n + 1} - \frac{a^n}{(a^n - 1)(a^n + 1)}

Sada dovodimo sva tri člana na zajednički imenilac, koji je razlika kvadrata a2n−1=(an−1)(an+1). a^{2n} - 1 = (a^n - 1)(a^n + 1) .

L=3(an+1)−2(an−1)−an(an−1)(an+1)L = \frac{3(a^n + 1) - 2(a^n - 1) - a^n}{(a^n - 1)(a^n + 1)}

Sređujemo brojilac oslobađanjem od zagrada i sabiranjem sličnih članova.

L=3an+3−2an+2−ana2n−1=5a2n−1L = \frac{3a^n + 3 - 2a^n + 2 - a^n}{a^{2n} - 1} = \frac{5}{a^{2n} - 1}

Sada transformišemo desnu stranu izraza (D) kako bismo proverili da li je jednaka levoj strani.

D=5a−n(an−a−n)−1=5a−nan−a−nD = 5a^{-n}(a^n - a^{-n})^{-1} = \frac{5a^{-n}}{a^n - a^{-n}}

Množimo brojilac i imenilac desne strane sa an. a^n .

D=5a−n⋅an(an−a−n)⋅an=5a2n−1D = \frac{5a^{-n} \cdot a^n}{(a^n - a^{-n}) \cdot a^n} = \frac{5}{a^{2n} - 1}

Upoređivanjem dobijenih rezultata za levu i desnu stranu, zaključujemo da je identitet dokazan.

L=5a2n−1=DL = \frac{5}{a^{2n} - 1} = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti