Izraz sa x na −6 i 64: rezultat 1 + 2x

Prvo ćemo transformisati negativne stepene u razlomke i srediti imenioce unutar prvog dela izraza. Primetimo da je $x^{-n} = \frac{1}{x^n} .$

x^{-6}-64 = \frac{1}{x^6}-64 = \frac{1-64x^6}{x^6}

Sređujemo imenioce prvog i drugog razlomka:

4 + 2x^{-1} + x^{-2} = 4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{4x^2 + 2x + 1}{x^2} \\ 4 - 4x^{-1} + x^{-2} = 4 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{4x^2 - 4x + 1}{x^2} = \frac{(2x-1)^2}{x^2}

Sada uvrštavamo sređene delove nazad u prvi deo izraza. Primetimo da se $x^2$ skraćuje.

\frac{\frac{1-64x^6}{x^6}}{\frac{4x^2+2x+1}{x^2}} \cdot \frac{x^2}{\frac{(2x-1)^2}{x^2}} = \frac{1-64x^6}{x^6} \cdot \frac{x^2}{4x^2+2x+1} \cdot \frac{x^4}{(2x-1)^2}

Skraćivanjem stepena $x$ dobijamo uprošćeniji oblik prvog člana. Zatim rastavljamo brojilac $1-64x^6$ kao razliku kvadrata, a potom i kao razliku i zbir kubova.

1-64x^6 = (1-8x^3)(1+8x^3) = (1-2x)(1+2x+4x^2) \cdot (1+2x)(1-2x+4x^2)

Uvrštavamo rastavljeni brojilac i vršimo skraćivanje sa imeniocem $4x^2+2x+1 :$

\frac{(1-2x)(1+2x+4x^2)(1+2x)(1-2x+4x^2)}{(4x^2+2x+1)(2x-1)^2} = \frac{(1-2x)(1+2x)(1-2x+4x^2)}{(1-2x)^2} = \frac{(1+2x)(1-2x+4x^2)}{1-2x}

Sada oduzimamo drugi deo originalnog izraza. Pošto oba dela sada imaju isti imenilac $1-2x ,$ možemo ih spojiti:

\frac{(1+2x)(1-2x+4x^2) - 4x^2(2x+1)}{1-2x}

Izvlačimo zajednički faktor $(1+2x)$ u brojiocu:

\frac{(1+2x)(1-2x+4x^2 - 4x^2)}{1-2x} = \frac{(1+2x)(1-2x)}{1-2x}

Skraćivanjem izraza $1-2x$ dobijamo konačno rešenje:

1 + 2x

Započni učenje

Online časovi

10.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci