Vrednost izraza sa x i recipročnom vrednošću

Prvo ćemo transformisati dati izraz koristeći definiciju negativnog stepena $x^{-1} = \frac{1}{x} .$

\frac{x + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x^2 + 1}{x}}{\frac{x^2 - 1}{x}}

Skraćivanjem imenioca $x$ u dvojnom razlomku, dobijamo uprošćen oblik izraza koji treba izračunati:

\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}

Uvedimo smenu $a = 2^{-n}$ kako bismo lakše manipulisali izrazom za $x :$

x = \frac{a + 1}{a - 1}

Sada izračunavamo vrednosti za $x^2 + 1$ i $x^2 - 1$ koristeći uvedenu smenu:

x^2 + 1 = \left( \frac{a+1}{a-1} \right)^2 + 1 = \frac{(a+1)^2 + (a-1)^2}{(a-1)^2}

Kvadriramo binome u brojitelju:

\frac{a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2 + 2}{(a-1)^2} = \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)^2}

Slično izračunavamo i imenilac glavnog izraza:

x^2 - 1 = \left( \frac{a+1}{a-1} \right)^2 - 1 = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{(a-1)^2}

Primenom razlike kvadrata ili kvadriranjem binoma dobijamo:

\frac{a^2 + 2a + 1 - (a^2 - 2a + 1)}{(a-1)^2} = \frac{4a}{(a-1)^2}

Vratimo dobijene delove u uprošćeni izraz $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} :$

\frac{\frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)^2}}{\frac{4a}{(a-1)^2}} = \frac{2(a^2 + 1)}{4a} = \frac{a^2 + 1}{2a}

Vratimo smenu $a = 2^{-n}$ u dobijeni rezultat:

\frac{(2^{-n})^2 + 1}{2 \cdot 2^{-n}} = \frac{2^{-2n} + 1}{2^{1-n}}

Konačan rezultat možemo zapisati i razdvajanjem razlomka:

\frac{2^{-2n}}{2^{1-n}} + \frac{1}{2^{1-n}} = 2^{-2n - (1-n)} + 2^{n-1} = 2^{-n-1} + 2^{n-1}

13.b