1221. Stepen sa racionalnim izložiocem

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednosti izraza pod korenom, odnosno $m + x$ i $m - x ,$ zamenom date vrednosti za $x .$

Računamo izraz $m + x$ svođenjem na zajednički imenilac i prepoznavanjem kvadrata binoma u brojiocu:

m + x = m + \frac{2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 1) + 2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 2n + 1)}{n^2 + 1} = \frac{m(n + 1)^2}{n^2 + 1}

Na isti način računamo izraz $m - x :$

m - x = m - \frac{2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 1) - 2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 - 2n + 1)}{n^2 + 1} = \frac{m(n - 1)^2}{n^2 + 1}

Sada računamo koren prvog izraza, što odgovara stepenu $1/2 .$ Prilikom korenovanja kvadrata koristimo apsolutnu vrednost: $\sqrt{A^2} = |A| .$ Kako je $m > 0$ i $n > 0 ,$ važi $n + 1 > 0 ,$ pa je apsolutna vrednost jednaka samom izrazu.

(m + x)^{1/2} = \sqrt{\frac{m(n + 1)^2}{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}|n + 1|}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}}

Zatim računamo koren drugog izraza. Ovde moramo biti posebno pažljivi sa apsolutnom vrednošću.

(m - x)^{1/2} = \sqrt{\frac{m(n - 1)^2}{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}|n - 1|}{\sqrt{n^2 + 1}}

Zbog datog uslova $0 < n < 1 ,$ izraz $n - 1$ pod apsolutnom vrednošću je negativan. Zato je njegova apsolutna vrednost jednaka $-(n - 1) = 1 - n .$

(m - x)^{1/2} = \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}

Zamenjujemo dobijene vrednosti korena nazad u početni razlomak.

\frac{\frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}}{\frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} - \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}}

Množimo i brojilac i imenilac sa zajedničkim imeniocem $\sqrt{n^2 + 1}$ kako bismo uprostili dvojni razlomak.

\frac{\sqrt{m}(n + 1) + \sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{m}(n + 1) - \sqrt{m}(1 - n)}

Izvlačimo $\sqrt{m}$ kao zajednički činilac u brojiocu i imeniocu, a zatim ga skraćujemo.

\frac{\sqrt{m}(n + 1 + 1 - n)}{\sqrt{m}(n + 1 - (1 - n))} = \frac{\sqrt{m} \cdot 2}{\sqrt{m} \cdot (n + 1 - 1 + n)} = \frac{2}{2n}

Na kraju, skraćujemo razlomak i time dobijamo konačan rezultat.

\frac{1}{n}

67.đ