1220. Stepen sa racionalnim izložiocem

REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo imenilac prvog razlomka i brojilac drugog razlomka izdvajanjem zajedničkih članova.

Za imenilac prvog razlomka izdvajamo $x^{1/2} :$

x^{3/4} + x^{1/2} = x^{1/2}(x^{1/4} + 1)

Za brojilac drugog razlomka izdvajamo $x^{1/4} :$

x^{1/2} + x^{1/4} = x^{1/4}(x^{1/4} + 1)

Zamenjujemo dobijene faktorisane oblike nazad u početni izraz:

\frac{x - 1}{x^{1/2}(x^{1/4} + 1)} \cdot \frac{x^{1/4}(x^{1/4} + 1)}{x^{1/2} + 1} \cdot x^{1/4} + 1

Skraćujemo zajednički izraz $x^{1/4} + 1$ iz imenioca prvog i brojioca drugog razlomka.

\frac{x - 1}{x^{1/2}} \cdot \frac{x^{1/4}}{x^{1/2} + 1} \cdot x^{1/4} + 1

Množimo preostale faktore $x^{1/4}$ u brojiocu:

x^{1/4} \cdot x^{1/4} = x^{1/2}

Uvrštavamo dobijeni proizvod u izraz i skraćujemo $x^{1/2}$ iz brojioca i imenioca:

\frac{x - 1}{x^{1/2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{x^{1/2} + 1} + 1 = \frac{x - 1}{x^{1/2} + 1} + 1

Da bismo dalje pojednostavili izraz, primenjujemo formulu za razliku kvadrata na brojilac $x - 1$ posmatrajući ga kao $(x^{1/2})^2 - 1^2 .$

x - 1 = (x^{1/2} - 1)(x^{1/2} + 1)

Zamenjujemo brojilac njegovim faktorisanim oblikom i skraćujemo ga sa imeniocem $x^{1/2} + 1 :$

\frac{(x^{1/2} - 1)(x^{1/2} + 1)}{x^{1/2} + 1} + 1 = x^{1/2} - 1 + 1

Nakon poništavanja brojeva $-1$ i $1 ,$ dobijamo konačan rezultat koji možemo zapisati i u obliku kvadratnog korena:

x^{1/2} = \sqrt{x}

65.g