Uprostiti izraz sa četvrtim korenima x i y

Da bismo lakše uprostili izraz, uvodimo smenu $a = x^{1/4}$ i $b = y^{1/4} .$ Tada važi da je $a^2 = x^{1/2} ,$ $a^3 = x^{3/4} ,$ $a^4 = x$ i analogno tome za promenljivu $y .$ Zamenom u početni izraz dobijamo:

\frac{a^4 - b^4}{a^3 + a^2b} \cdot \frac{a^2b + ab^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{ab}{a^2 - 2ab + b^2}

Faktorizujemo svaki razlomak pojedinačno. Počinjemo od prvog razlomka, gde u brojiocu primenjujemo formulu za razliku kvadrata, a u imeniocu izvlačimo zajednički faktor $a^2 .$

\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2(a + b)} = \frac{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}{a^2(a + b)}

Skraćivanjem zajedničkog člana $(a + b)$ u brojiocu i imeniocu, prvi razlomak postaje:

\frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{a^2}

Sada faktorizujemo drugi razlomak tako što iz brojioca izvlačimo zajednički faktor $ab .$

\frac{ab(a + b)}{a^2 + b^2}

U imeniocu trećeg razlomka prepoznajemo kvadrat binoma.

\frac{ab}{(a - b)^2}

Sada ponovo zapisujemo ceo izraz množeći dobijene uprošćene razlomke.

\frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{a^2} \cdot \frac{ab(a + b)}{a^2 + b^2} \cdot \frac{ab}{(a - b)^2}

Zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom. Množenjem $ab \cdot ab$ u brojiocu dobijamo $a^2b^2 .$

\frac{(a - b)(a^2 + b^2) \cdot a^2b^2(a + b)}{a^2(a^2 + b^2)(a - b)^2}

Skraćujemo zajedničke činioce iz brojioca i imenioca: $a^2 ,$ izraz $a^2 + b^2$ i izraz $a - b .$

\frac{b^2(a + b)}{a - b}

Vraćamo prvobitnu smenu $a = x^{1/4}$ i $b = y^{1/4} ,$ pri čemu je $b^2 = (y^{1/4})^2 = y^{1/2} ,$ da bismo dobili konačno rešenje.

\frac{y^{1/2}(x^{1/4} + y^{1/4})}{x^{1/4} - y^{1/4}}

Započni učenje

Online časovi

65.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci