1229.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz za x=mn, x = \sqrt{mn} , m>n>0: m > n > 0 :

(m+xx+n−m−xx−nm+xx+n+m−xx−n)−2\left( \frac{\sqrt{m + x}\sqrt{x + n} - \sqrt{m - x}\sqrt{x-n}}{\sqrt{m + x}\sqrt{x + n} + \sqrt{m - x}\sqrt{x-n}} \right)^{-2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo se osloboditi negativnog izložioca tako što ćemo recipročno obrnuti razlomak.

(m+xx+n+m−xx−nm+xx+n−m−xx−n)2\left( \frac{\sqrt{m + x}\sqrt{x + n} + \sqrt{m - x}\sqrt{x-n}}{\sqrt{m + x}\sqrt{x + n} - \sqrt{m - x}\sqrt{x-n}} \right)^{2}

Da bismo lakše manipulisali izrazom, uvedimo smene A=m+xx+n A = \sqrt{m + x}\sqrt{x + n} i B=m−xx−n. B = \sqrt{m - x}\sqrt{x - n} . Izraz tada postaje kvadariran razlomak koji možemo raspisati:

(A+BA−B)2=(A+B)2(A−B)2=A2+B2+2ABA2+B2−2AB\left( \frac{A + B}{A - B} \right)^2 = \frac{(A + B)^2}{(A - B)^2} = \frac{A^2 + B^2 + 2AB}{A^2 + B^2 - 2AB}

Računamo kvadrate A2 A^2 i B2: B^2 :

A2=(m+x)(x+n)=mx+mn+x2+xnB2=(m−x)(x−n)=mx−mn−x2+xn\begin{aligned} A^2 &= (m + x)(x + n) = mx + mn + x^2 + xn \\ B^2 &= (m - x)(x - n) = mx - mn - x^2 + xn \end{aligned}

Sabiramo dobijene izraze da bismo našli vrednost za A2+B2: A^2 + B^2 :

A2+B2=(mx+mn+x2+xn)+(mx−mn−x2+xn)=2mx+2xn=2x(m+n)A^2 + B^2 = (mx + mn + x^2 + xn) + (mx - mn - x^2 + xn) = 2mx + 2xn = 2x(m + n)

Sada računamo proizvod AB. AB . Pod istim korenom, množimo izraze i koristimo razliku kvadrata:

AB=(m+x)(m−x)(x+n)(x−n)=(m2−x2)(x2−n2)AB = \sqrt{(m + x)(m - x)(x + n)(x - n)} = \sqrt{(m^2 - x^2)(x^2 - n^2)}

Zamenjujemo uslov zadatka x=mn, x = \sqrt{mn} , odnosno x2=mn, x^2 = mn , u izraz za AB: AB :

AB=(m2−mn)(mn−n2)=m(m−n)n(m−n)=mn(m−n)2AB = \sqrt{(m^2 - mn)(mn - n^2)} = \sqrt{m(m - n)n(m - n)} = \sqrt{mn(m - n)^2}

Pošto je m>n>0, m > n > 0 , važi m−n>0, m - n > 0 , a kako je iz uslova zadatka mn=x, \sqrt{mn} = x , koren se uprošćava u:

AB=(m−n)mn=x(m−n)AB = (m - n)\sqrt{mn} = x(m - n)

Zamenjujemo dobijene vrednosti za A2+B2 A^2 + B^2 i AB AB nazad u razlomak iz trećeg koraka:

2x(m+n)+2x(m−n)2x(m+n)−2x(m−n)\frac{2x(m + n) + 2x(m - n)}{2x(m + n) - 2x(m - n)}

Uprošćavamo brojilac i imenilac grupisanjem i skraćivanjem kako bismo dobili konačan rezultat:

2x(m+n+m−n)2x(m+n−m+n)=2x(2m)2x(2n)=4xm4xn=mn\frac{2x(m + n + m - n)}{2x(m + n - m + n)} = \frac{2x(2m)}{2x(2n)} = \frac{4xm}{4xn} = \frac{m}{n}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti