1233.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati da je vrednost šestog stepena kompleksnog broja (2−i) (2 - i) jednaka datom izrazu:

(2−i)6=−117−44i(2 - i)^6 = -117 - 44i
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraz (2−i)6 (2 - i)^6 napisati kao kvadrat trećeg stepena ili kao kub kvadrata. Lakše je prvo izračunati kvadrat binoma.

(2−i)6=((2−i)2)3(2 - i)^6 = ((2 - i)^2)^3

Računamo kvadrat binoma (2−i)2 (2 - i)^2 koristeći formulu (a−b)2=a2−2ab+b2, (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 , uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

(2−i)2=22−2⋅2⋅i+i2=4−4i−1=3−4i(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

Sada dobijeni rezultat dižemo na treći stepen kako bismo dobili konačan šesti stepen.

(2−i)6=(3−4i)3(2 - i)^6 = (3 - 4i)^3

Koristimo formulu za kub binoma (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3. (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 .

(3−4i)3=33−3⋅32⋅(4i)+3⋅3⋅(4i)2−(4i)3(3 - 4i)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot (4i) + 3 \cdot 3 \cdot (4i)^2 - (4i)^3

Računamo pojedinačne članove izraza, pazeći na stepene imaginarne jedinice i2=−1 i^2 = -1 i i3=−i. i^3 = -i .

33=273⋅9⋅4i=108i9⋅16i2=9⋅(−16)=−14464i3=64(−i)=−64i\begin{aligned} 3^3 &= 27 \\ 3 \cdot 9 \cdot 4i &= 108i \\ 9 \cdot 16i^2 &= 9 \cdot (-16) = -144 \\ 64i^3 &= 64(-i) = -64i \end{aligned}

Uvrštavamo dobijene vrednosti nazad u izraz i grupišemo realne i imaginarne delove.

27−108i−144−(−64i)=27−144−108i+64i27 - 108i - 144 - (-64i) = 27 - 144 - 108i + 64i

Sabiranjem dobijamo konačan rezultat, čime je dokaz završen.

−117−44i-117 - 44i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti