Kompleksni razlomak sa kvadratima i kubom binoma

Prvo računamo kvadrate i kubove binoma u brojiocu i imeniocu, koristeći formule $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ i $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ,$ uzimajući u obzir da je $i^2 = -1 .$

Sređujemo brojilac:

(1 + 2i)^2 - (1 - i)^2 = (1 + 4i + 4i^2) - (1 - 2i + i^2) = (1 + 4i - 4) - (1 - 2i - 1) = -3 + 4i - (-2i) = -3 + 6i

Sređujemo imenilac:

(3 + 2i)^3 - (2 + i)^2 = (27 + 54i + 36i^2 + 8i^3) - (4 + 4i + i^2)

Zamenjujemo vrednosti $i^2 = -1$ i $i^3 = -i$ u izraz za imenilac:

(27 + 54i - 36 - 8i) - (4 + 4i - 1) = (-9 + 46i) - (3 + 4i) = -12 + 42i

Sada formiramo novi količnik sa uprošćenim izrazima:

z = \frac{-3 + 6i}{-12 + 42i}

Skraćujemo razlomak sa 3 kako bismo olakšali dalji račun:

z = \frac{-1 + 2i}{-4 + 14i}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano kompleksnim brojem imenioca $-4 - 14i :$

z = \frac{-1 + 2i}{-4 + 14i} \cdot \frac{-4 - 14i}{-4 - 14i}

Računamo proizvod u brojiocu i imeniocu:

z = \frac{4 + 14i - 8i - 28i^2}{(-4)^2 - (14i)^2} = \frac{4 + 6i + 28}{16 + 196} = \frac{32 + 6i}{212}

Rastavljamo na realni i imaginarni deo i skraćujemo razlomke do kraja:

z = \frac{32}{212} + \frac{6}{212}i = \frac{8}{53} + \frac{3}{106}i

Započni učenje

Privatni časovi

86.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci