1350.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost kompleksnog izraza:

z=(1+2i)2−(1−i)2(3+2i)3−(2+i)2z = \frac{(1 + 2i)^2 - (1 - i)^2}{(3 + 2i)^3 - (2 + i)^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo kvadrate i kubove binoma u brojiocu i imeniocu, koristeći formule (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 i (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 , uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

Sređujemo brojilac:

(1+2i)2−(1−i)2=(1+4i+4i2)−(1−2i+i2)=(1+4i−4)−(1−2i−1)=−3+4i−(−2i)=−3+6i(1 + 2i)^2 - (1 - i)^2 = (1 + 4i + 4i^2) - (1 - 2i + i^2) = (1 + 4i - 4) - (1 - 2i - 1) = -3 + 4i - (-2i) = -3 + 6i

Sređujemo imenilac:

(3+2i)3−(2+i)2=(27+54i+36i2+8i3)−(4+4i+i2)(3 + 2i)^3 - (2 + i)^2 = (27 + 54i + 36i^2 + 8i^3) - (4 + 4i + i^2)

Zamenjujemo vrednosti i2=−1 i^2 = -1 i i3=−i i^3 = -i u izraz za imenilac:

(27+54i−36−8i)−(4+4i−1)=(−9+46i)−(3+4i)=−12+42i(27 + 54i - 36 - 8i) - (4 + 4i - 1) = (-9 + 46i) - (3 + 4i) = -12 + 42i

Sada formiramo novi količnik sa uprošćenim izrazima:

z=−3+6i−12+42iz = \frac{-3 + 6i}{-12 + 42i}

Skraćujemo razlomak sa 3 kako bismo olakšali dalji račun:

z=−1+2i−4+14iz = \frac{-1 + 2i}{-4 + 14i}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano kompleksnim brojem imenioca −4−14i: -4 - 14i :

z=−1+2i−4+14i⋅−4−14i−4−14iz = \frac{-1 + 2i}{-4 + 14i} \cdot \frac{-4 - 14i}{-4 - 14i}

Računamo proizvod u brojiocu i imeniocu:

z=4+14i−8i−28i2(−4)2−(14i)2=4+6i+2816+196=32+6i212z = \frac{4 + 14i - 8i - 28i^2}{(-4)^2 - (14i)^2} = \frac{4 + 6i + 28}{16 + 196} = \frac{32 + 6i}{212}

Rastavljamo na realni i imaginarni deo i skraćujemo razlomke do kraja:

z=32212+6212i=853+3106iz = \frac{32}{212} + \frac{6}{212}i = \frac{8}{53} + \frac{3}{106}i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti