1352.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost kompleksnog izraza:

z=(1+i7)4+(1−i7)4(−1+i3)4+(−1−i3)4z = \frac{(1 + i\sqrt{7})^4 + (1 - i\sqrt{7})^4}{(-1 + i\sqrt{3})^4 + (-1 - i\sqrt{3})^4}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo oznake za delove brojioca i imenioca. Neka je a=1+i7 a = 1 + i\sqrt{7} i b=−1+i3. b = -1 + i\sqrt{3} . Primetimo da su njihovi parovi u izrazu zapravo konjugovano-kompleksni brojevi aˉ=1−i7 \bar{a} = 1 - i\sqrt{7} i bˉ=−1−i3. \bar{b} = -1 - i\sqrt{3} .

z=a4+aˉ4b4+bˉ4z = \frac{a^4 + \bar{a}^4}{b^4 + \bar{b}^4}

Računamo kvadrat broja a=1+i7 a = 1 + i\sqrt{7} koristeći formulu za kvadrat binoma:

a2=(1+i7)2=12+2⋅1⋅i7+(i7)2=1+2i7−7=−6+2i7a^2 = (1 + i\sqrt{7})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i\sqrt{7} + (i\sqrt{7})^2 = 1 + 2i\sqrt{7} - 7 = -6 + 2i\sqrt{7}

Sada računamo četvrti stepen broja a a kao kvadrat njegovog kvadrata:

a4=(−6+2i7)2=(−6)2+2⋅(−6)⋅2i7+(2i7)2=36−24i7−28=8−24i7a^4 = (-6 + 2i\sqrt{7})^2 = (-6)^2 + 2 \cdot (-6) \cdot 2i\sqrt{7} + (2i\sqrt{7})^2 = 36 - 24i\sqrt{7} - 28 = 8 - 24i\sqrt{7}

Pošto je aˉ4 \bar{a}^4 konjugovan broj broju a4, a^4 , njihov zbir u brojiocu je:

(8−24i7)+(8+24i7)=16(8 - 24i\sqrt{7}) + (8 + 24i\sqrt{7}) = 16

Slično postupamo za imenilac. Prvo računamo kvadrat broja b=−1+i3: b = -1 + i\sqrt{3} :

b2=(−1+i3)2=(−1)2+2⋅(−1)⋅i3+(i3)2=1−2i3−3=−2−2i3b^2 = (-1 + i\sqrt{3})^2 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2 = 1 - 2i\sqrt{3} - 3 = -2 - 2i\sqrt{3}

Zatim računamo četvrti stepen broja b: b :

b4=(−2−2i3)2=(−2)2+2⋅(−2)⋅(−2i3)+(−2i3)2=4+8i3−12=−8+8i3b^4 = (-2 - 2i\sqrt{3})^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot (-2i\sqrt{3}) + (-2i\sqrt{3})^2 = 4 + 8i\sqrt{3} - 12 = -8 + 8i\sqrt{3}

Zbir u imeniocu iznosi:

(−8+8i3)+(−8−8i3)=−16(-8 + 8i\sqrt{3}) + (-8 - 8i\sqrt{3}) = -16

Konačno, delimo dobijene vrednosti brojioca i imenioca. U ovom slučaju nema potrebe za postupkom koji nazivamo racionalisanje imenioca jer je imenilac realan broj:

z=16−16=−1z = \frac{16}{-16} = -1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti