Četvrti stepeni konjugovanih brojeva u razlomku

Uvodimo oznake za delove brojioca i imenioca. Neka je $a = 1 + i\sqrt{7}$ i $b = -1 + i\sqrt{3} .$ Primetimo da su njihovi parovi u izrazu zapravo konjugovano-kompleksni brojevi $\bar{a} = 1 - i\sqrt{7}$ i $\bar{b} = -1 - i\sqrt{3} .$

z = \frac{a^4 + \bar{a}^4}{b^4 + \bar{b}^4}

Računamo kvadrat broja $a = 1 + i\sqrt{7}$ koristeći formulu za kvadrat binoma:

a^2 = (1 + i\sqrt{7})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i\sqrt{7} + (i\sqrt{7})^2 = 1 + 2i\sqrt{7} - 7 = -6 + 2i\sqrt{7}

Sada računamo četvrti stepen broja $a$ kao kvadrat njegovog kvadrata:

a^4 = (-6 + 2i\sqrt{7})^2 = (-6)^2 + 2 \cdot (-6) \cdot 2i\sqrt{7} + (2i\sqrt{7})^2 = 36 - 24i\sqrt{7} - 28 = 8 - 24i\sqrt{7}

Pošto je $\bar{a}^4$ konjugovan broj broju $a^4 ,$ njihov zbir u brojiocu je:

(8 - 24i\sqrt{7}) + (8 + 24i\sqrt{7}) = 16

Slično postupamo za imenilac. Prvo računamo kvadrat broja $b = -1 + i\sqrt{3} :$

b^2 = (-1 + i\sqrt{3})^2 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2 = 1 - 2i\sqrt{3} - 3 = -2 - 2i\sqrt{3}

Zatim računamo četvrti stepen broja $b :$

b^4 = (-2 - 2i\sqrt{3})^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot (-2i\sqrt{3}) + (-2i\sqrt{3})^2 = 4 + 8i\sqrt{3} - 12 = -8 + 8i\sqrt{3}

Zbir u imeniocu iznosi:

(-8 + 8i\sqrt{3}) + (-8 - 8i\sqrt{3}) = -16

Konačno, delimo dobijene vrednosti brojioca i imenioca. U ovom slučaju nema potrebe za postupkom koji nazivamo racionalisanje imenioca jer je imenilac realan broj:

z = \frac{16}{-16} = -1

Započni učenje

Privatni časovi

86.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci