Kub broja (-1 ± i koren 3)/2 jednak je 1: dokaz

Prvo računamo vrednost prvog izraza. Označimo $z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} .$ Koristimo formulu za kub zbira $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 .$

\left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(-1)^3 + 3(-1)^2(i\sqrt{3}) + 3(-1)(i\sqrt{3})^2 + (i\sqrt{3})^3}{2^3}

Sređujemo članove u brojiocu, vodeći računa o stepenima imaginarne jedinice gde je $i^2 = -1$ i $i^3 = -i .$

\frac{-1 + 3i\sqrt{3} - 3(-3) + (-i3\sqrt{3})}{8}

Nakon skraćivanja suprotnih članova u brojiocu, dobijamo krajnji rezultat za prvi izraz:

\frac{-1 + 3i\sqrt{3} + 9 - 3i\sqrt{3}}{8} = \frac{8}{8} = 1

Sada računamo vrednost drugog izraza. Označimo $z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} .$ Primenjujemo isti postupak za kub razlike ili zbira.

\left(\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(-1)^3 - 3(-1)^2(i\sqrt{3}) + 3(-1)(i\sqrt{3})^2 - (i\sqrt{3})^3}{2^3}

Sređujemo izraz u brojiocu:

\frac{-1 - 3i\sqrt{3} - 3(-3) - (-i3\sqrt{3})}{8} = \frac{-1 - 3i\sqrt{3} + 9 + 3i\sqrt{3}}{8}

Dobijamo da je i drugi izraz jednak jedinici:

\frac{8}{8} = 1

Zaključujemo da su oba izraza jednaka 1, čime je tvrdnja dokazana.

1 = 1 = 1

Započni učenje

Privatni časovi

84

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci