1338.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati da je:

(−1+i32)3=(−1−i32)3=1\left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \left(\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednost prvog izraza. Označimo z1=−1+i32. z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} . Koristimo formulu za kub zbira (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 .

(−1+i32)3=(−1)3+3(−1)2(i3)+3(−1)(i3)2+(i3)323\left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(-1)^3 + 3(-1)^2(i\sqrt{3}) + 3(-1)(i\sqrt{3})^2 + (i\sqrt{3})^3}{2^3}

Sređujemo članove u brojiocu, vodeći računa o stepenima imaginarne jedinice gde je i2=−1 i^2 = -1 i i3=−i. i^3 = -i .

−1+3i3−3(−3)+(−i33)8\frac{-1 + 3i\sqrt{3} - 3(-3) + (-i3\sqrt{3})}{8}

Nakon skraćivanja suprotnih članova u brojiocu, dobijamo krajnji rezultat za prvi izraz:

−1+3i3+9−3i38=88=1\frac{-1 + 3i\sqrt{3} + 9 - 3i\sqrt{3}}{8} = \frac{8}{8} = 1

Sada računamo vrednost drugog izraza. Označimo z2=−1−i32. z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} . Primenjujemo isti postupak za kub razlike ili zbira.

(−1−i32)3=(−1)3−3(−1)2(i3)+3(−1)(i3)2−(i3)323\left(\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(-1)^3 - 3(-1)^2(i\sqrt{3}) + 3(-1)(i\sqrt{3})^2 - (i\sqrt{3})^3}{2^3}

Sređujemo izraz u brojiocu:

−1−3i3−3(−3)−(−i33)8=−1−3i3+9+3i38\frac{-1 - 3i\sqrt{3} - 3(-3) - (-i3\sqrt{3})}{8} = \frac{-1 - 3i\sqrt{3} + 9 + 3i\sqrt{3}}{8}

Dobijamo da je i drugi izraz jednak jedinici:

88=1\frac{8}{8} = 1

Zaključujemo da su oba izraza jednaka 1, čime je tvrdnja dokazana.

1=1=11 = 1 = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti