1336.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti kompleksan broj z z ako je:

(i−z)(1+2i)+(1−iz)(3−4i)=1+7i(i - z)(1 + 2i) + (1 - iz)(3 - 4i) = 1 + 7i
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izvršiti množenje zagrada na levoj strani jednačine, vodeći računa o tome da je i2=−1. i^2 = -1 .

(i⋅1+i⋅2i−z⋅1−z⋅2i)+(1⋅3+1⋅(−4i)−iz⋅3−iz⋅(−4i))=1+7i(i \cdot 1 + i \cdot 2i - z \cdot 1 - z \cdot 2i) + (1 \cdot 3 + 1 \cdot (-4i) - iz \cdot 3 - iz \cdot (-4i)) = 1 + 7i

Sređujemo izraze unutar zagrada koristeći identitet i2=−1: i^2 = -1 :

(i−2−z−2iz)+(3−4i−3iz+4i2z)=1+7i(i−2−z−2iz)+(3−4i−3iz−4z)=1+7i(i - 2 - z - 2iz) + (3 - 4i - 3iz + 4i^2z) = 1 + 7i \\ (i - 2 - z - 2iz) + (3 - 4i - 3iz - 4z) = 1 + 7i

Grupišemo članove koji sadrže nepoznatu z z na jednu stranu, a poznate članove na drugu stranu jednačine:

−z−2iz−3iz−4z=1+7i−i+2−3+4i-z - 2iz - 3iz - 4z = 1 + 7i - i + 2 - 3 + 4i

Sređujemo obe strane jednačine sabiranjem sličnih članova:

−5z−5iz=10i-5z - 5iz = 10i

Izvlačimo zajednički faktor z z ispred zagrade:

z(−5−5i)=10iz(-5 - 5i) = 10i

Izražavamo nepoznatu z z kao količnik:

z=10i−5−5iz = \frac{10i}{-5 - 5i}

Skraćujemo razlomak brojem 5 radi lakšeg daljeg računa:

z=2i−1−iz = \frac{2i}{-1 - i}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem i brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem imenioca, što je −1+i: -1 + i :

z=2i−1−i⋅−1+i−1+iz = \frac{2i}{-1 - i} \cdot \frac{-1 + i}{-1 + i}

Računamo proizvod u brojiocu i imeniocu:

z=2i(−1+i)(−1)2−i2=−2i+2i21−(−1)=−2i−21+1z = \frac{2i(-1 + i)}{(-1)^2 - i^2} = \frac{-2i + 2i^2}{1 - (-1)} = \frac{-2i - 2}{1 + 1}

Završavamo računanje deljenjem sa 2 i dobijamo konačnu vrednost kompleksnog broja:

z=−2−2i2=−1−iz = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti