1335.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve \(x\) i \(y\), ako je data jednačina sa kompleksnim brojevima:

x−21−i+y−31+i=1−3i\frac{x - 2}{1 - i} + \frac{y - 3}{1 + i} = 1 - 3i
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rešavanju je racionalisanje imenioca za oba razlomka na levoj strani jednačine. Prvi razlomak množimo sa \(\frac{1+i}{1+i}\), a drugi sa \(\frac{1-i}{1-i}\).

x−21−i⋅1+i1+i+y−31+i⋅1−i1−i=1−3i\frac{x - 2}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} + \frac{y - 3}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = 1 - 3i

Sređujemo imenioce koristeći razliku kvadrata: \((1-i)(1+i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2\).

(x−2)(1+i)2+(y−3)(1−i)2=1−3i\frac{(x - 2)(1 + i)}{2} + \frac{(y - 3)(1 - i)}{2} = 1 - 3i

Množimo celu jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomaka i množimo binome u brojiocima.

(x−2+xi−2i)+(y−3−yi+3i)=2−6i(x - 2 + xi - 2i) + (y - 3 - yi + 3i) = 2 - 6i

Grupišemo realne i imaginarne delove na levoj strani jednačine.

(x+y−5)+(x−y+1)i=2−6i(x + y - 5) + (x - y + 1)i = 2 - 6i

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni delovi i posebno imaginarni delovi. Formiramo sistem jednačina:

{x+y−5=2x−y+1=−6\begin{cases} x + y - 5 = 2 \\ x - y + 1 = -6 \end{cases}

Sređujemo sistem prebacivanjem slobodnih članova na desnu stranu.

{x+y=7x−y=−7\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = -7 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo vrednost za \(x\), a zatim zamenom dobijamo \(y\).

2x=0  ⟹  x=02x = 0 \implies x = 0

Računamo vrednost za \(y\) iz prve jednačine sistema.

0+y=7  ⟹  y=70 + y = 7 \implies y = 7

Konačna rešenja za realne brojeve su:

x=0,y=7x = 0, \quad y = 7

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti