1334.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve x x i y, y , ako je data jednačina sa kompleksnim brojevima:

1x+iy=12+i+1−2+4i\frac{1}{x + iy} = \frac{1}{2 + i} + \frac{1}{-2 + 4i}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izvršiti racionalisanje imenioca za oba razlomka na desnoj strani jednačine kako bismo ih sveli na oblik a+bi. a + bi .

12+i⋅2−i2−i+1−2+4i⋅−2−4i−2−4i\frac{1}{2 + i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i} + \frac{1}{-2 + 4i} \cdot \frac{-2 - 4i}{-2 - 4i}

Računamo vrednosti u imeniocima koristeći razliku kvadrata i činjenicu da je i2=−1. i^2 = -1 .

2−i4−i2+−2−4i4−16i2=2−i4+1+−2−4i4+16\frac{2 - i}{4 - i^2} + \frac{-2 - 4i}{4 - 16i^2} = \frac{2 - i}{4 + 1} + \frac{-2 - 4i}{4 + 16}

Sređujemo dobijene razlomke i dovodimo ih na zajednički imenilac 20.

2−i5+−2−4i20=4(2−i)−2−4i20\frac{2 - i}{5} + \frac{-2 - 4i}{20} = \frac{4(2 - i) - 2 - 4i}{20}

Sređujemo brojilac desne strane.

8−4i−2−4i20=6−8i20=3−4i10\frac{8 - 4i - 2 - 4i}{20} = \frac{6 - 8i}{20} = \frac{3 - 4i}{10}

Sada imamo jednačinu 1x+iy=3−4i10. \frac{1}{x + iy} = \frac{3 - 4i}{10} . Iz ovoga sledi da je recipročna vrednost:

x+iy=103−4ix + iy = \frac{10}{3 - 4i}

Ponovo vršimo racionalisanje imenioca kako bismo izdvojili realni i imaginarni deo.

x+iy=103−4i⋅3+4i3+4i=10(3+4i)9−16i2x + iy = \frac{10}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{10(3 + 4i)}{9 - 16i^2}

Dovršavamo računanje desne strane.

x+iy=30+40i9+16=30+40i25x + iy = \frac{30 + 40i}{9 + 16} = \frac{30 + 40i}{25}

Skraćujemo razlomak sa 5 i razdvajamo realni i imaginarni deo.

x+iy=65+i85x + iy = \frac{6}{5} + i\frac{8}{5}

Izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo konačne vrednosti.

x=65,y=85x = \frac{6}{5}, \quad y = \frac{8}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti