Realni x i y iz zbira recipročnih kompleksnih brojeva

Prvo ćemo izvršiti racionalisanje imenioca za oba razlomka na desnoj strani jednačine kako bismo ih sveli na oblik $a + bi .$

\frac{1}{2 + i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i} + \frac{1}{-2 + 4i} \cdot \frac{-2 - 4i}{-2 - 4i}

Računamo vrednosti u imeniocima koristeći razliku kvadrata i činjenicu da je $i^2 = -1 .$

\frac{2 - i}{4 - i^2} + \frac{-2 - 4i}{4 - 16i^2} = \frac{2 - i}{4 + 1} + \frac{-2 - 4i}{4 + 16}

Sređujemo dobijene razlomke i dovodimo ih na zajednički imenilac 20.

\frac{2 - i}{5} + \frac{-2 - 4i}{20} = \frac{4(2 - i) - 2 - 4i}{20}

Sređujemo brojilac desne strane.

\frac{8 - 4i - 2 - 4i}{20} = \frac{6 - 8i}{20} = \frac{3 - 4i}{10}

Sada imamo jednačinu $\frac{1}{x + iy} = \frac{3 - 4i}{10} .$ Iz ovoga sledi da je recipročna vrednost:

x + iy = \frac{10}{3 - 4i}

Ponovo vršimo racionalisanje imenioca kako bismo izdvojili realni i imaginarni deo.

x + iy = \frac{10}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{10(3 + 4i)}{9 - 16i^2}

Dovršavamo računanje desne strane.

x + iy = \frac{30 + 40i}{9 + 16} = \frac{30 + 40i}{25}

Skraćujemo razlomak sa 5 i razdvajamo realni i imaginarni deo.

x + iy = \frac{6}{5} + i\frac{8}{5}

Izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo konačne vrednosti.

x = \frac{6}{5}, \quad y = \frac{8}{5}

82.a