Stepeni (1 + i) i (1 - i): osmi i šesti stepen

Prvo računamo osnovne kvadrate binoma koji se pojavljuju u izrazu kako bismo olakšali dalje stepenovanje.

(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \\ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Primetimo da je $(i - 1)^2 = (-(1 - i))^2 = (1 - i)^2 ,$ što iznosi $-2i .$ Sada transformišemo brojilac koristeći dobijene kvadrate.

(1 + i)^8 = ((1 + i)^2)^4 = (2i)^4 = 2^4 \cdot i^4 = 16 \cdot 1 = 16 \\ (i - 1)^8 = ((i - 1)^2)^4 = (-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot 1 = 16

Sada transformišemo imenilac na sličan način.

(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i \\ (1 - i)^6 = ((1 - i)^2)^3 = (-2i)^3 = (-2)^3 \cdot i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i

Zamenjujemo izračunate vrednosti u početni izraz za $z .$

z = \frac{16 + 16}{-8i - 8i} = \frac{32}{-16i}

Skraćujemo razlomak brojem 16.

z = \frac{2}{-i}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca sa $i .$

z = \frac{2}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{2i}{-i^2} = \frac{2i}{-(-1)} = \frac{2i}{1} = 2i

Konačna vrednost izraza je:

z = 2i

86.b