1354.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost kompleksnog izraza:

z=(1+i)8+(i−1)8(1+i)6−(1−i)6z = \frac{(1 + i)^8 + (i - 1)^8}{(1 + i)^6 - (1 - i)^6}
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo osnovne kvadrate binoma koji se pojavljuju u izrazu kako bismo olakšali dalje stepenovanje.

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i(1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1=−2i(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \\ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Primetimo da je (i−1)2=(−(1−i))2=(1−i)2, (i - 1)^2 = (-(1 - i))^2 = (1 - i)^2 , što iznosi −2i. -2i . Sada transformišemo brojilac koristeći dobijene kvadrate.

(1+i)8=((1+i)2)4=(2i)4=24⋅i4=16⋅1=16(i−1)8=((i−1)2)4=(−2i)4=(−2)4⋅i4=16⋅1=16(1 + i)^8 = ((1 + i)^2)^4 = (2i)^4 = 2^4 \cdot i^4 = 16 \cdot 1 = 16 \\ (i - 1)^8 = ((i - 1)^2)^4 = (-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot 1 = 16

Sada transformišemo imenilac na sličan način.

(1+i)6=((1+i)2)3=(2i)3=23⋅i3=8⋅(−i)=−8i(1−i)6=((1−i)2)3=(−2i)3=(−2)3⋅i3=−8⋅(−i)=8i(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i \\ (1 - i)^6 = ((1 - i)^2)^3 = (-2i)^3 = (-2)^3 \cdot i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i

Zamenjujemo izračunate vrednosti u početni izraz za z. z .

z=16+16−8i−8i=32−16iz = \frac{16 + 16}{-8i - 8i} = \frac{32}{-16i}

Skraćujemo razlomak brojem 16.

z=2−iz = \frac{2}{-i}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca sa i. i .

z=2−i⋅ii=2i−i2=2i−(−1)=2i1=2iz = \frac{2}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{2i}{-i^2} = \frac{2i}{-(-1)} = \frac{2i}{1} = 2i

Konačna vrednost izraza je:

z=2iz = 2i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti