1355.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dati su kompleksni brojevi z1=2+5i z_1 = 2 + 5i i z2=1−7i. z_2 = 1 - 7i . Odrediti njihovu sumu, razliku, proizvod i količnik.

z1=2+5i,z2=1−7iz_1 = 2 + 5i, \quad z_2 = 1 - 7i
REŠENJE ZADATKA

Računamo zbir z1+z2 z_1 + z_2 tako što posebno saberemo realne delove, a posebno imaginarne delove.

z1+z2=(2+5i)+(1−7i)=(2+1)+(5i−7i)=3−2iz_1 + z_2 = (2 + 5i) + (1 - 7i) = (2 + 1) + (5i - 7i) = 3 - 2i

Računamo razliku z1−z2 z_1 - z_2 pazeći na promenu znaka pri oslobađanju zagrade.

z1−z2=(2+5i)−(1−7i)=2+5i−1+7i=(2−1)+(5i+7i)=1+12iz_1 - z_2 = (2 + 5i) - (1 - 7i) = 2 + 5i - 1 + 7i = (2 - 1) + (5i + 7i) = 1 + 12i

Računamo proizvod z1z2 z_1 z_2 množenjem svakog člana jedne zagrade sa svakim članom druge zagrade, koristeći činjenicu da je i2=−1. i^2 = -1 .

z1z2=(2+5i)(1−7i)=2⋅1−2⋅7i+5i⋅1−5i⋅7iz_1 z_2 = (2 + 5i)(1 - 7i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 7i + 5i \cdot 1 - 5i \cdot 7i

Sređujemo izraz za proizvod:

2−14i+5i−35i2=2−9i−35(−1)=2−9i+35=37−9i2 - 14i + 5i - 35i^2 = 2 - 9i - 35(-1) = 2 - 9i + 35 = 37 - 9i

Računamo količnik z1z2 \frac{z_1}{z_2} proširivanjem razlomka konjugovano kompleksnim brojem imenioca z‾2=1+7i. \overline{z}_2 = 1 + 7i .

z1z2=2+5i1−7i⋅1+7i1+7i=(2+5i)(1+7i)12−(7i)2\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 5i}{1 - 7i} \cdot \frac{1 + 7i}{1 + 7i} = \frac{(2 + 5i)(1 + 7i)}{1^2 - (7i)^2}

Izračunavamo brojilac i imenilac:

2+14i+5i+35i21−49i2=2+19i−351+49=−33+19i50\frac{2 + 14i + 5i + 35i^2}{1 - 49i^2} = \frac{2 + 19i - 35}{1 + 49} = \frac{-33 + 19i}{50}

Konačan rezultat deljenja zapisujemo u standardnom obliku a+bi: a + bi :

z1z2=−3350+1950i\frac{z_1}{z_2} = -\frac{33}{50} + \frac{19}{50}i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti