1356.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti zbir, proizvod, razliku i količnik kompleksnih brojeva z1 z_1 i z2 z_2 ako je dato:

z1=2−3i,z2=2+3iz_1 = \sqrt{2} - \sqrt{3}i, \quad z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i
REŠENJE ZADATKA

Računamo zbir kompleksnih brojeva sabiranjem realnih i imaginarnih delova posebno:

z1+z2=(2−3i)+(2+3i)=22z_1 + z_2 = (\sqrt{2} - \sqrt{3}i) + (\sqrt{2} + \sqrt{3}i) = 2\sqrt{2}

Računamo razliku kompleksnih brojeva oduzimanjem drugog broja od prvog:

z1−z2=(2−3i)−(2+3i)=2−3i−2−3i=−23iz_1 - z_2 = (\sqrt{2} - \sqrt{3}i) - (\sqrt{2} + \sqrt{3}i) = \sqrt{2} - \sqrt{3}i - \sqrt{2} - \sqrt{3}i = -2\sqrt{3}i

Računamo proizvod koristeći formulu za razliku kvadrata, jer su brojevi konjugovano kompleksni (a−bi)(a+bi)=a2+b2: (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2 :

z1z2=(2−3i)(2+3i)=(2)2−(3i)2=2−3i2z_1 z_2 = (\sqrt{2} - \sqrt{3}i)(\sqrt{2} + \sqrt{3}i) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 2 - 3i^2

Pošto je i2=−1, i^2 = -1 , završavamo množenje:

z1z2=2−3(−1)=2+3=5z_1 z_2 = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5

Računamo količnik množenjem i brojioca i imenioca konjugovanim parom imenioca:

z1z2=2−3i2+3i⋅2−3i2−3i\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}i}{\sqrt{2} + \sqrt{3}i} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}i}{\sqrt{2} - \sqrt{3}i}

U imeniocu dobijamo proizvod koji smo već izračunali (5), a u brojiocu kvadrat binoma:

z1z2=(2)2−223i+(3i)25=2−26i−35=−1−26i5\frac{z_1}{z_2} = \frac{(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}i + (\sqrt{3}i)^2}{5} = \frac{2 - 2\sqrt{6}i - 3}{5} = \frac{-1 - 2\sqrt{6}i}{5}

Konačni oblik količnika razdvajanjem na realni i imaginarni deo:

z1z2=−15−265i\frac{z_1}{z_2} = -\frac{1}{5} - \frac{2\sqrt{6}}{5}i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti