1403.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Ako je dat kompleksan broj z=1+i, z = 1 + i , dokazati da važi sledeća jednakost:

z2(z2−z+1)=−2z^2(z^2 - z + 1) = -2
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo kvadrat kompleksnog broja z. z . Koristimo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

z2=(1+i)2=12+2⋅1⋅i+i2=1+2i−1=2iz^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada ćemo srediti izraz unutar zagrade z2−z+1, z^2 - z + 1 , koristeći prethodno izračunatu vrednost za z2. z^2 .

z2−z+1=2i−(1+i)+1z^2 - z + 1 = 2i - (1 + i) + 1

Oslobađamo se zagrade i sabiramo realne i imaginarne delove.

z2−z+1=2i−1−i+1=iz^2 - z + 1 = 2i - 1 - i + 1 = i

Na kraju, dobijene vrednosti za z2 z^2 i z2−z+1 z^2 - z + 1 uvrštavamo u početni izraz na levoj strani jednakosti.

z2(z2−z+1)=2i⋅iz^2(z^2 - z + 1) = 2i \cdot i

Računamo finalni proizvod i dokazujemo da je jednak desnoj strani.

2i2=2⋅(−1)=−22i^2 = 2 \cdot (-1) = -2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti